Trabalho de uma força variável. Um próton com massa igual a 1,67 times 10^-27 kg é impulsionado com uma velocidade inicial de 3,0 times 10^5 m / s diretamente contra um núcleo de urânio situado a uma distância de 5,0 m. O próton é repelido pelo núcleo de urânio com uma força de módulo F=2,12 times 10^-26 x^-2, onde x é a distância entre o próton e o núcleo. a) Determine a função W(x) ; b) o trabalho realizado pela força durante o deslocamento de 5 m ;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um próton que está sendo impulsionado contra um núcleo de urânio e precisa descobrir duas coisas: primeiro, a função que representa o trabalho realizado pela força em função da distância ; e segundo, o trabalho total realizado durante um deslocamento de 5 metros. Para resolver isso, vamos precisar entender como as forças variáveis atuam e como calcular o trabalho feito por elas usando cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força variável é dado pela integral da força em relação à distância. Ou seja, se a força W = integrala^b F(x) , dx depende da posição , o trabalho feito quando o objeto se move de uma posição até uma posição é:

Passo 3

No nosso caso, a força que está agindo sobre o próton é:
F(x) = 2,12 times 10^-26 , x^-2
Isso significa que a força varia com a distância .

Passo 4

Para encontrar a função W(x) = integralx^infty 2,12 times 10^-26 , x^-2 , dx , que representa o trabalho realizado pela força até uma distância , precisamos integrar a força desde uma posição inicial até . Vamos considerar que o trabalho é zero quando é infinito (já que a força se aproxima de zero). Então, a função será:

Passo 5

Vamos calcular essa integral. A integral de W(x) = 2,12 times 10^-26 [ -1x ]x^infty = 2,12 times 10^-26 ( 0 - ( -1x ) ) = 2,12 times 10^-26x em relação a W(x) = 2,12 times 10^-26x é . Então:
Portanto, a função é:

Passo 6

Agora, para calcular o trabalho realizado durante o deslocamento de 5 metros, precisamos considerar que o próton se move de uma posição inicial De até uma posição final W = 2,12 times 10^-265 - 2,12 times 10^-26infty = 2,12 times 10^-265 a partir de onde a distância modificada em 5 metros. Porém, o enunciado menciona apenas o deslocamento de 5 metros, então vamos interpretar que essa é a variação na distância .
Se assumirmos que o próton começa a 5 metros de distância do núcleo, a posição final seria , mas precisamos de mais informações para determinar . Porém, se simplesmente queremos o trabalho realizado ao se mover 5 metros sob a força variável, usamos a diferença de nas posições inicial e final.
Mas como a força depende de , e sem valores específicos de e , vamos assumir que o deslocamento ocorre de para , o que teoricamente implica que o próton chega ao núcleo, mas isso não faz muito sentido fisicamente, já que a força se tornaria infinita. Então, vamos considerar que o deslocamento é entre duas posições específicas.
Vamos recalcular o trabalho considerando que o deslocamento de 5 metros é de até , mas isso não é viável. Portanto, parece que o trabalho requerido é simplesmente a mudança no potencial energético quando o próton se move uma distância de 5 metros contra a força repulsiva.
Então, o trabalho realizado é:
Se o deslocamento é de 5 metros, e se é a distância inicial antes do deslocamento, então . Porém, sem valores específicos de , não podemos calcular numericamente. Parece que precisamos reinterpretar a questão.
Vamos considerar que o próton se move de uma distância infinita até 5 metros, então:

Resposta

a) A função é J;
b) O trabalho realizado pela força durante o deslocamento de 5 metros é J.

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