Trabalho de uma força variável. Um próton com massa igual a
é impulsionado com uma velocidade inicial de
diretamente contra um núcleo de urânio situado a uma distância de
. O próton é repelido pelo núcleo de urânio com uma força de módulo
, onde
é a distância entre o próton e o núcleo. a) Determine a função
b) o trabalho realizado pela força durante o deslocamento de 5 m ;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um próton que está sendo impulsionado contra um núcleo de urânio e precisa descobrir duas coisas: primeiro, a função
que representa o trabalho realizado pela força em função da distância
; e segundo, o trabalho total realizado durante um deslocamento de 5 metros. Para resolver isso, vamos precisar entender como as forças variáveis atuam e como calcular o trabalho feito por elas usando cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força variável é dado pela integral da força em relação à distância. Ou seja, se a força
depende da posição
, o trabalho
feito quando o objeto se move de uma posição
até uma posição
é:
Passo 3
No nosso caso, a força que está agindo sobre o próton é:
Isso significa que a força varia com a distância
.
Passo 4
Para encontrar a função
, que representa o trabalho realizado pela força até uma distância
, precisamos integrar a força desde uma posição inicial até
. Vamos considerar que o trabalho é zero quando
é infinito (já que a força se aproxima de zero). Então, a função
será:
Passo 5
Vamos calcular essa integral. A integral de
em relação a
é
. Então:
Portanto, a função
é:
Passo 6
Agora, para calcular o trabalho realizado durante o deslocamento de 5 metros, precisamos considerar que o próton se move de uma posição inicial
até uma posição final
a partir de onde a distância modificada em 5 metros. Porém, o enunciado menciona apenas o deslocamento de 5 metros, então vamos interpretar que essa é a variação na distância
.
Se assumirmos que o próton começa a 5 metros de distância do núcleo, a posição final
seria
, mas precisamos de mais informações para determinar
. Porém, se simplesmente queremos o trabalho realizado ao se mover 5 metros sob a força variável, usamos a diferença de
nas posições inicial e final.
Mas como a força depende de
, e sem valores específicos de
e
, vamos assumir que o deslocamento ocorre de
para
, o que teoricamente implica que o próton chega ao núcleo, mas isso não faz muito sentido fisicamente, já que a força se tornaria infinita. Então, vamos considerar que o deslocamento é entre duas posições específicas.
Vamos recalcular o trabalho considerando que o deslocamento de 5 metros é de
até
, mas isso não é viável. Portanto, parece que o trabalho requerido é simplesmente a mudança no potencial energético quando o próton se move uma distância de 5 metros contra a força repulsiva.
Então, o trabalho realizado é:
Se o deslocamento é de 5 metros, e se
é a distância inicial antes do deslocamento, então
. Porém, sem valores específicos de
, não podemos calcular numericamente. Parece que precisamos reinterpretar a questão.
Vamos considerar que o próton se move de uma distância infinita até 5 metros, então:
Resposta
a) A função
é
J;
b) O trabalho realizado pela força durante o deslocamento de 5 metros é
J.