A altura (em metros) da cabine de uma roda-gigante é descrita em função do tempo (em minutos) por:
A roda-gigante dá uma volta completa em 30 minutos. Determine em que instantes desse intervalo a cabine está a 100 metros de altura.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a fórmula que descreve a altura da cabine da roda-gigante em função do tempo:
O objetivo é descobrir em que momentos, dentro dos 30 minutos que a roda leva para dar uma volta completa, a cabine está a 100 metros de altura. Para isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria e equações.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar a altura
a 100 metros para encontrar o tempo
correspondente:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 3
Vamos isolar o termo que contém o cosseno. Subtraímos 76 de ambos os lados:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos isolar o cosseno dividindo ambos os lados por -75:
Simplificando a fração:
Passo 5
Para encontrar
, vamos aplicar a função arco cosseno (também conhecida como cosseno inverso) em ambos os lados:
Calculando o arco cosseno:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Mas como o cosseno é uma função periódica, haverá outro momento no ciclo de 30 minutos onde a cabine também estará a 100 metros. Para isso, subtraímos o valor encontrado de 30 minutos:
Resposta
A cabine da roda-gigante está a 100 metros de altura aos aproximadamente 9.06 minutos e 20.94 minutos após o início da volta.