Duas fábricas, A e B, que estão a 4 km de distância uma da outra, emitem partículas na forma de fumaça que poluem a área entre as fábricas. Suponha que a fábrica A emite duas vezes mais fumaça que a fábrica B e que na área entre as fábricas o número de partículas emitidas por cada fábrica é inversamente proporcional ao cubo da distância até a fábrica. Determine um ponto, entre as fábricas A e B, tal que a polução é mínima.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas fábricas, A e B, que estão separadas por 4 km. A fábrica A emite duas vezes mais fumaça que a fábrica B. A quantidade de partículas de fumaça emitidas por cada fábrica em um ponto específico é inversamente proporcional ao cubo da distância desse ponto até a fábrica. Nosso objetivo é encontrar um ponto entre as fábricas onde a poluição total seja mínima. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções inversamente proporcionais e otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma variável para facilitar. Vamos chamar o ponto onde queremos minimizar a poluição de , que será a distância desse ponto até a fábrica A. Como as fábricas estão a 4 km de distância, a distância desse ponto até a fábrica B será km.

Passo 3

Agora, vamos expressar a quantidade de partículas emitidas por cada fábrica no ponto . Sabemos que a emissão de partículas é inversamente proporcional ao cubo da distância. Então, para a fábrica A:
E para a fábrica B:
Aqui, usamos o 2 em porque a fábrica A emite duas vezes mais fumaça que a fábrica B.

Passo 4

A poluição total no ponto será a soma das partículas emitidas pelas duas fábricas. Assim, a função que representa a poluição total é:

Passo 5

Para encontrar o ponto onde a poluição é mínima, precisamos encontrar o valor de que minimiza a função . Isso envolve derivar em relação a e encontrar onde essa derivada é igual a zero.
Vamos derivar :

Passo 6

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver essa equação:
Dividindo ambos os lados por 3:
Tirando a raiz quarta de ambos os lados:
Multiplicando cruzadamente:
Somando em ambos os lados:
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Passo 7

Para simplificar, podemos aproximar como aproximadamente 1,1892:

Resposta

O ponto entre as fábricas A e B onde a poluição é mínima está aproximadamente a 2,18 km da fábrica A.

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