Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty (x+1)^nn(n+1)

Passo 1

Beleza, pessoal! O que a gente tem aqui é para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso faz parte do conteúdo de séries e suas convergências em cálculo. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão e depois verificar os pontos finais para determinar o intervalo completo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste nos ajuda a descobrir para quais valores de a série converge.
O Teste da Razão diz que se , então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos definir an+1an = (x+1)^n+1(n+1)(n+2)(x+1)^nn(n+1) = (x+1)^n+1 cdot n(n+1)(x+1)^n cdot (n+1)(n+2) . Agora, calculamos an+1an = (x+1) cdot nn+2 :
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | (x+1) cdot nn+2 | = |x+1| cdot limn to infty nn+2 = |x+1| cdot 1 = |x+1| tende ao infinito:

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que |x+1| < 1 :
-1 < x + 1 < 1
Isso significa que:
-2 < x < 0
Subtraindo 1 de todas as partes:
Então, o raio de convergência é 1, e o intervalo preliminar de convergência é .

Passo 6

Agora, precisamos verificar os pontos finais sumn=1^infty (-2+1)^nn(n+1) = sumn=1^infty (-1)^nn(n+1) e sumn=1^infty (0+1)^nn(n+1) = sumn=1^infty 1n(n+1) para determinar se eles estão incluídos no intervalo de convergência.
Para :
Substituindo na série:
Essa é uma série alternada. Vamos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos decaem para zero e são monótonos decrescentes, a série converge.
Como decresce e tende a zero, a série converge em .
Para :
Substituindo na série:
Essa é uma série telescópica que também converge.

Resposta

Então, o raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Mostre que
8 sen^4 x = 3 - 4 cos 2x + 2 cos 4x
Deduza daí uma expressão para cos^4(x).
Uma pedra é lançada a um lago, originando uma onda circular que viaja a uma velocidade de 40 cm/s. Determine a taxa de variação da área dentro do círculo nos tempos t = 1, t = 3 e t = 5.
Determine os pontos críticos e os máximos/mínimos locais de cada uma das seguintes funções. Use as informações para fazer um esboço do gráfico
f(x) = 2x^4 - 8x^2.
A altura (em metros) da cabine de uma roda-gigante é descrita em função do tempo (em minutos) por:
h(t) = 76 - 75 cos(pi t / 15)
A roda-gigante dá uma volta completa em 30 minutos. Determine em que instantes desse intervalo a cabine está a 100 metros de altura.