Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, pessoal! O que a gente tem aqui é para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso faz parte do conteúdo de séries e suas convergências em cálculo. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão e depois verificar os pontos finais para determinar o intervalo completo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste nos ajuda a descobrir para quais valores de a série converge.
Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | (x+1) cdot nn+2 | = |x+1| cdot limn to infty nn+2 = |x+1| cdot 1 = |x+1| tende ao infinito:
Passo 5
Para a série convergir, precisamos que |x+1| < 1 :
-1 < x + 1 < 1
Isso significa que:
-2 < x < 0
Subtraindo 1 de todas as partes:
Então, o raio de convergência é 1, e o intervalo preliminar de convergência é .
Passo 6
Agora, precisamos verificar os pontos finais sumn=1^infty (-2+1)^nn(n+1) = sumn=1^infty (-1)^nn(n+1) e sumn=1^infty (0+1)^nn(n+1) = sumn=1^infty 1n(n+1) para determinar se eles estão incluídos no intervalo de convergência.
Para :
Substituindo na série:
Essa é uma série alternada. Vamos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos decaem para zero e são monótonos decrescentes, a série converge.
Como decresce e tende a zero, a série converge em .
Para :
Substituindo na série:
Essa é uma série telescópica que também converge.
Resposta
Então, o raio de convergência é e o intervalo de convergência é .