Determine os pontos críticos e os máximos/mínimos locais de cada uma das seguintes funções. Use as informações para fazer um esboço do gráfico
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os pontos críticos e os máximos ou mínimos locais da função
. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre derivadas e análise de funções. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é zero ou não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função
. A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto, e onde ela é zero podem estar os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
ou onde a derivada não existe. Como nossa derivada
é um polinômio, ela sempre existe, então só precisamos resolver
.
Vamos fatorar:
Então, temos:
Isso dá:
Portanto, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar se cada ponto crítico é um máximo local, mínimo local ou nenhum. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada.
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
:
Agora, avaliamos
em cada ponto crítico:
- Para
:
Como
, isso indica que a função tem um ponto de máximo local em
.
- Para
:
Como
, isso indica que a função tem um ponto de mínimo local em
.
- Para
:
Da mesma forma, como
, a função tem um ponto de mínimo local em
.
Passo 5
Resumindo tudo, encontramos que:
- Em
, a função atinge um ponto de máximo local. - Em
e , a função atinge mínimos locais.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
,
e
. O ponto
é um máximo local, enquanto
e
são mínimos locais.
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.
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