Determine os pontos críticos e os máximos/mínimos locais de cada uma das seguintes funções. Use as informações para fazer um esboço do gráfico
f(x) = 2x^4 - 8x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os pontos críticos e os máximos ou mínimos locais da função . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre derivadas e análise de funções. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é zero ou não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função . A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto, e onde ela é zero podem estar os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde ou onde a derivada não existe. Como nossa derivada é um polinômio, ela sempre existe, então só precisamos resolver .
Vamos fatorar:
Então, temos:
Isso dá:
Portanto, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Agora, vamos determinar se cada ponto crítico é um máximo local, mínimo local ou nenhum. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada.
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de :
Agora, avaliamos em cada ponto crítico:
  1. Para :
Como , isso indica que a função tem um ponto de máximo local em .
  1. Para :
Como , isso indica que a função tem um ponto de mínimo local em .
  1. Para :
Da mesma forma, como , a função tem um ponto de mínimo local em .

Passo 5

Resumindo tudo, encontramos que:
  • Em , a função atinge um ponto de máximo local.
  • Em e , a função atinge mínimos locais.

Resposta

Os pontos críticos da função são , e . O ponto é um máximo local, enquanto e são mínimos locais.

Exercícios relacionados

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty (x+1)^nn(n+1)
Mostre que
8 sen^4 x = 3 - 4 cos 2x + 2 cos 4x
Deduza daí uma expressão para cos^4(x).
A altura (em metros) da cabine de uma roda-gigante é descrita em função do tempo (em minutos) por:
h(t) = 76 - 75 cos(pi t / 15)
A roda-gigante dá uma volta completa em 30 minutos. Determine em que instantes desse intervalo a cabine está a 100 metros de altura.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty (x-4)^nn 5^n