Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty (x-4)^nn 5^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Esse tipo de problema geralmente entra na matéria de Séries de Potências. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é raio de convergência. Ele nos diz até que ponto, em torno de um ponto central (neste caso, ), a série converge. Para encontrar esse raio, usamos o Teste da Razão, que envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Seja L = limn to infty | an+1an | . O Teste da Razão nos diz para calcular:
L = limn to infty | (x-4)^n+1(n+1) cdot 5^n+1(x-4)^nn cdot 5^n | = limn to infty | (x-4) cdot n5 cdot (n+1) |
Substituindo os termos:
L = | x-45 | cdot limn to infty nn+1 = | x-45 | cdot 1 = | x-45 |
Simplificando:

Passo 4

Para a série convergir, o limite | x-45 | < 1 precisa ser menor que 1:
|x - 4| < 5
Multiplicando ambos os lados por 5:
Esse é o raio de convergência, que é 5. Agora, vamos determinar o intervalo de convergência.

Passo 5

Com 4 - 5 < x < 4 + 5 implies -1 < x < 9 , podemos escrever o intervalo como:
Então, inicialmente, o intervalo é . Mas precisamos verificar os pontos extremos e para ver se eles estão incluídos.

Passo 6

Para sumn=1^infty (-1 - 4)^nn cdot 5^n = sumn=1^infty (-5)^nn cdot 5^n = sumn=1^infty (-1)^nn :
Substituindo na série:
sumn=1^infty (9 - 4)^nn cdot 5^n = sumn=1^infty 5^nn cdot 5^n = sumn=1^infty 1n
Essa é a série alternada , que converge pelo Teste da Série Alternada.
Para :
Substituindo na série:
Essa é a série harmônica, que diverge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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