Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Esse tipo de problema geralmente entra na matéria de Séries de Potências. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é raio de convergência. Ele nos diz até que ponto, em torno de um ponto central (neste caso, ), a série converge. Para encontrar esse raio, usamos o Teste da Razão, que envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Seja . O Teste da Razão nos diz para calcular:
Substituindo os termos:
L = | x-45 | cdot limn to infty nn+1 = | x-45 | cdot 1 = | x-45 |
Simplificando:
Passo 4
Para a série convergir, o limite | x-45 | < 1 precisa ser menor que 1:
|x - 4| < 5
Multiplicando ambos os lados por 5:
Esse é o raio de convergência, que é 5. Agora, vamos determinar o intervalo de convergência.
Passo 5
Com 4 - 5 < x < 4 + 5 implies -1 < x < 9 , podemos escrever o intervalo como:
Então, inicialmente, o intervalo é . Mas precisamos verificar os pontos extremos e para ver se eles estão incluídos.