Um vidro cilíndrico de raio r e altura h é enchido com água e então inclinado até que a água remanescente no vidro cubra exatamente a sua base. Encontre o volume de água no vidro.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um vidro em formato de cilindro com raio e altura que está cheio de água. A gente inclina esse vidro até que a água que sobra nele cubra exatamente a base do vidro. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o volume dessa água que ficou no vidro após incliná-lo.
Vamos precisar usar conhecimentos de geometria, especificamente sobre o volume de cilindros e a área de triângulos, já que a água vai formar uma forma triangular quando inclinamos o vidro. Também vamos usar um pouquinho de trigonometria para relacionar os ângulos envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar como a água fica no vidro quando ele é inclinado até o ponto em que a água cobre a base. Nesse caso, a superfície da água forma um triângulo retângulo com a base do cilindro.
Imagine que ao inclinar o vidro, a água forma um triângulo com altura igual ao raio e base igual à altura do cilindro. Isso acontece porque a água ainda está cobrindo exatamente a base do vidro.

Passo 3

Para calcular o volume da água que sobra, precisamos calcular a área desse triângulo e depois multiplicar pela profundidade da água, que nesse caso é a altura do cilindro.
A área do triângulo é dada por:
Aqui, a base é e a altura é , então:

Passo 4

Agora que temos a área do triângulo, vamos calcular o volume da água no cilindro. O volume é dado por:
á
No nosso caso, a “base” é a área do triângulo que formamos, e a “altura” é o raio .
Então:

Resposta

O volume de água no vidro é:

Exercícios relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6 , determine a ordem da equação diferencial dada e diga se ela é linear ou não linear.
A altura de um monumento é de 20 m . Uma seç̧ão transversal horizontal a uma distância de x metros do topo é um triângulo equilátero com lado medindo 1/4 x metros. Encontre o volume do monumento.
Uma esfera de raio 1 intercepta uma esfera menor de raio r de maneira que a intersecção é um círculo de raio r. (Em outras palavras, elas se interceptam em um círculo máximo da esfera pequena.) Encontre r de forma que o volume dentro da esfera pequena e fora da esfera grande seja o máximo possível.
t^2 y'' + 5 t y' + 4 y = 0, t > 0 ; y1(t) = t^2, y2(t) = t^2 ln(t)