Um vidro cilíndrico de raio
e altura
é enchido com água e então inclinado até que a água remanescente no vidro cubra exatamente a sua base. Encontre o volume de água no vidro.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um vidro em formato de cilindro com raio
e altura
que está cheio de água. A gente inclina esse vidro até que a água que sobra nele cubra exatamente a base do vidro. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o volume dessa água que ficou no vidro após incliná-lo.
Vamos precisar usar conhecimentos de geometria, especificamente sobre o volume de cilindros e a área de triângulos, já que a água vai formar uma forma triangular quando inclinamos o vidro. Também vamos usar um pouquinho de trigonometria para relacionar os ângulos envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar como a água fica no vidro quando ele é inclinado até o ponto em que a água cobre a base. Nesse caso, a superfície da água forma um triângulo retângulo com a base do cilindro.
Imagine que ao inclinar o vidro, a água forma um triângulo com altura igual ao raio
e base igual à altura
do cilindro. Isso acontece porque a água ainda está cobrindo exatamente a base do vidro.
Passo 3
Para calcular o volume da água que sobra, precisamos calcular a área desse triângulo e depois multiplicar pela profundidade da água, que nesse caso é a altura do cilindro.
A área do triângulo
é dada por:
Aqui, a base é
e a altura é
, então:
Passo 4
Agora que temos a área do triângulo, vamos calcular o volume da água no cilindro. O volume
é dado por:
No nosso caso, a “base” é a área do triângulo que formamos, e a “altura” é o raio
.
Então:
Resposta
O volume de água no vidro é:
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