A altura dos pontos de uma montanha é dada por . Quer-se, a partir do ponto , construir-se uma estrada que vá até o topo. Sabendo que a inclinaçã̃o máxima é de , dê as possíveis direções em que se pode construir a estrada por .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve a altura de uma montanha:
Queremos, a partir do ponto , construir uma estrada que vai até o topo da montanha. A estrada não pode ter uma inclinação maior que . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre gradiente e inclinação de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente nos dá a direção de maior inclinação da superfície. As componentes do gradiente são as derivadas parciais da função em relação a e .
Calculando:
Então, o gradiente é:
No ponto , substituindo:

Passo 3

A inclinação máxima permitida para a estrada é de . A inclinação de uma estrada relacionada ao gradiente pode ser expressa pela tangente do ângulo:
Então, para :
á
Queremos que a inclinação da estrada não ultrapasse esse valor.

Passo 4

A direção da estrada pode ser representada por um vetor . A inclinação da estrada em relação ao gradiente deve satisfazer:
á
Calculando o produto escalar e a norma do gradiente no ponto :
Então, a condição fica:

Passo 5

Como e representam as componentes de um vetor direção, ele deve ser um vetor unitário, ou seja:
Com a condição anterior , podemos resolver para :

Passo 6

As possíveis direções da estrada são dadas pelos ângulos em que as componentes do vetor direção satisfazem:
e
Isso implica que os ângulos devem estar próximos da direção predominante do , mantendo a inclinação dentro do limite de .

Resposta

As possíveis direções para construir a estrada a partir de estão nos ângulos cujo seno satisfaz e cosseno . Ou seja, as estradas podem ser construídas em direções próximas ao eixo , com inclinação máxima de em relação à horizontal.

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