O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por
, sendo
em volts,
,
cm.
Determine o versor da direção normal superfície equipotencial que passa pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um potencial elétrico dado por
, onde
está em volts e
estão em centímetros. A gente precisa encontrar o versor (ou seja, o vetor unitário) na direção normal à superfície equipotencial que passa pelo ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção normal a uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície equipotencial. É uma superfície onde o potencial elétrico
é constante. Para encontrar a direção normal a essa superfície, usamos o gradiente do potencial
. O gradiente aponta na direção de maior variação de
e, portanto, é normal à superfície equipotencial.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. O gradiente em coordenadas cartesianas é dado por:
Primeiro, simplificamos
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
- Parcial em relação a
:
- Parcial em relação a
:
- Parcial em relação a
:
Passo 5
Então, o gradiente fica:
Esse vetor é normal à superfície equipotencial no ponto
.
Passo 6
Agora, para obter o versor da direção normal, ou seja, um vetor unitário na direção do gradiente, vamos normalizar o gradiente. Isso significa dividir o gradiente pelo seu módulo (comprimento).
Primeiro, calculamos o módulo de
:
Passo 7
Então, o versor
da direção normal é:
Simplificando, temos:
Resposta
O versor da direção normal à superfície equipotencial que passa pelo ponto
é:
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.
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