O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por V(x, y, z) = ln(raiz(x^2 - y^2 + z^2)), sendo V em volts, x, y, z em cm.
c) Determine o versor da direção normal superfície equipotencial que passa pelo ponto A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um potencial elétrico dado por , onde está em volts e estão em centímetros. A gente precisa encontrar o versor (ou seja, o vetor unitário) na direção normal à superfície equipotencial que passa pelo ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção normal a uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície equipotencial. É uma superfície onde o potencial elétrico é constante. Para encontrar a direção normal a essa superfície, usamos o gradiente do potencial . O gradiente aponta na direção de maior variação de e, portanto, é normal à superfície equipotencial.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . O gradiente em coordenadas cartesianas é dado por:
Primeiro, simplificamos :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Parcial em relação a :
  1. Parcial em relação a :
  1. Parcial em relação a :

Passo 5

Então, o gradiente fica:
Esse vetor é normal à superfície equipotencial no ponto .

Passo 6

Agora, para obter o versor da direção normal, ou seja, um vetor unitário na direção do gradiente, vamos normalizar o gradiente. Isso significa dividir o gradiente pelo seu módulo (comprimento).
Primeiro, calculamos o módulo de :

Passo 7

Então, o versor da direção normal é:
Simplificando, temos:

Resposta

O versor da direção normal à superfície equipotencial que passa pelo ponto é:

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