Mostre que a derivada direcional de
em qualquer ponto
, da elipse
na direção normal a ela (direção perpendicular à direção tangente à elipse no ponto) é nula.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a derivada direcional da função
em qualquer ponto
da elipse
, na direção normal à elipse, é nula. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas direcionais e propriedades geométricas de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função
em um ponto
na direção de um vetor
é a taxa de variação de
nessa direção. Matemáticamente, é dada por:
onde
é o gradiente de
e
representa o produto escalar.
Passo 3
Agora, vamos determinar o vetor normal à elipse
em um ponto
. O vetor normal a uma curva em um ponto é dado pelo gradiente da função que define a curva. Aqui, a função é
, então:
Portanto, o vetor normal à elipse no ponto
é
.
Passo 4
Como queremos uma direção unitaria para calcular a derivada direcional, vamos normalizar o vetor normal
. Primeiro, calculamos o seu comprimento:
Então, o vetor unitário na direção normal é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente de
:
Passo 6
A derivada direcional de
na direção normal
é o produto escalar do gradiente de
com
:
Simplificando:
Resposta
A derivada direcional de
na direção normal à elipse
é nula.
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.
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.
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, dê as possíveis direções em que se pode construir a estrada por
.
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Considere o elipsoide
.
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.