Mostre que a derivada direcional de em qualquer ponto , da elipse na direção normal a ela (direção perpendicular à direção tangente à elipse no ponto) é nula.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a derivada direcional da função em qualquer ponto da elipse , na direção normal à elipse, é nula. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas direcionais e propriedades geométricas de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é a taxa de variação de nessa direção. Matemáticamente, é dada por:
onde é o gradiente de e representa o produto escalar.

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor normal à elipse em um ponto . O vetor normal a uma curva em um ponto é dado pelo gradiente da função que define a curva. Aqui, a função é , então:
Portanto, o vetor normal à elipse no ponto é .

Passo 4

Como queremos uma direção unitaria para calcular a derivada direcional, vamos normalizar o vetor normal . Primeiro, calculamos o seu comprimento:
Então, o vetor unitário na direção normal é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente de :

Passo 6

A derivada direcional de na direção normal é o produto escalar do gradiente de com :
Simplificando:

Resposta

A derivada direcional de na direção normal à elipse é nula.

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