Considere o elipsoide
.
Determine o ponto em que a reta normal ao elipsoide no ponto
intercepta o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de um elipsoide dado pela equação
. A gente precisa encontrar o ponto onde a reta normal ao elipsoide no ponto
corta o plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar a reta normal a uma superfície em um ponto específico e como encontrar a interseção dessa reta com um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reta normal a um elipsoide em um ponto é determinada pelo vetor gradiente da função que define o elipsoide naquele ponto. A função que representa o elipsoide é
. O gradiente de
é dado por:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o gradiente de
é:
Passo 4
Agora, avaliamos o gradiente no ponto
:
Esse vetor
é o vetor normal à superfície no ponto dado.
Passo 5
Com o vetor normal e o ponto de partida, podemos escrever a equação paramétrica da reta normal. A equação geral de uma reta é:
Onde
é o ponto de partida,
é o vetor direção, e
é o parâmetro.
No nosso caso:
Isso dá as equações paramétricas:
Passo 6
Queremos encontrar onde essa reta intercepta o plano
. O plano
é definido por
. Então, vamos igualar a equação de
a zero e resolver para
:
Passo 7
Agora que temos o valor de
, substituímos de volta nas equações de
e
para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
Resposta
O ponto onde a reta normal intercepta o plano
é
.