Considere o elipsoide .
Determine o ponto em que a reta normal ao elipsoide no ponto intercepta o plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de um elipsoide dado pela equação . A gente precisa encontrar o ponto onde a reta normal ao elipsoide no ponto corta o plano . Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar a reta normal a uma superfície em um ponto específico e como encontrar a interseção dessa reta com um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta normal a um elipsoide em um ponto é determinada pelo vetor gradiente da função que define o elipsoide naquele ponto. A função que representa o elipsoide é . O gradiente de é dado por:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, avaliamos o gradiente no ponto :
Esse vetor é o vetor normal à superfície no ponto dado.

Passo 5

Com o vetor normal e o ponto de partida, podemos escrever a equação paramétrica da reta normal. A equação geral de uma reta é:
Onde é o ponto de partida, é o vetor direção, e é o parâmetro.
No nosso caso:
Isso dá as equações paramétricas:

Passo 6

Queremos encontrar onde essa reta intercepta o plano . O plano é definido por . Então, vamos igualar a equação de a zero e resolver para :

Passo 7

Agora que temos o valor de , substituímos de volta nas equações de e para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
á

Resposta

O ponto onde a reta normal intercepta o plano é .

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