Qual é a altura, , do prisma retangular mostrado abaixo? Arredonde sua resposta para a primeira casa decimal. Um prisma retangular que tem um comprimento de quatro unidades, largura de três unidades e altura de h unidades. Uma diagonal que mede raiz quadrada de trinta e quatro unidades começa no canto inferior esquerdo da face frontal do prisma e termina no canto superior direito da face traseira.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um prisma retangular com comprimento de 4 unidades, largura de 3 unidades e altura desconhecida, que chamaremos de $ h $. Existe uma diagonal que vai do canto inferior esquerdo da face frontal até o canto superior direito da face traseira, e essa diagonal mede $ \sqrt{34} $ unidades. Nosso objetivo é descobrir qual é a altura $ h $ desse prisma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um prisma retangular, a diagonal que atravessa o corpo completo pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras em três dimensões. O Teorema de Pitágoras nos ajuda a relacionar os lados de um triângulo retângulo.
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Pitágoras em 3D, a fórmula da diagonal $ d $ do prisma é dada por:
onde:
- $ l $ é o comprimento,
- $ w $ é a largura,
- $ h $ é a altura.
Passo 4
Sabemos que:
Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular os quadrados dos valores que conhecemos:
Substituindo na equação:
Passo 6
Agora, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Vamos resolver para $ h^2 $:
Passo 8
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ h $:
Resposta
A altura $ h $ do prisma retangular é $ 3,0 $ unidades.