Qual é a altura, , do prisma retangular mostrado abaixo? Arredonde sua resposta para a primeira casa decimal. Um prisma retangular que tem um comprimento de quatro unidades, largura de três unidades e altura de h unidades. Uma diagonal que mede raiz quadrada de trinta e quatro unidades começa no canto inferior esquerdo da face frontal do prisma e termina no canto superior direito da face traseira.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um prisma retangular com comprimento de 4 unidades, largura de 3 unidades e altura desconhecida, que chamaremos de $ h $. Existe uma diagonal que vai do canto inferior esquerdo da face frontal até o canto superior direito da face traseira, e essa diagonal mede $ \sqrt{34} $ unidades. Nosso objetivo é descobrir qual é a altura $ h $ desse prisma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um prisma retangular, a diagonal que atravessa o corpo completo pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras em três dimensões. O Teorema de Pitágoras nos ajuda a relacionar os lados de um triângulo retângulo.

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Pitágoras em 3D, a fórmula da diagonal $ d $ do prisma é dada por:
d
onde:
  • $ l $ é o comprimento,
  • $ w $ é a largura,
  • $ h $ é a altura.

Passo 4

Sabemos que:
d = raiz34, l = 4, w = 3
Vamos substituir esses valores na fórmula:
raiz34 = raiz4^2 + 3^2 + h^2

Passo 5

Vamos calcular os quadrados dos valores que conhecemos:
4^2 = 16, 3^2 = 9
Substituindo na equação:
raiz34 = raiz16 + 9 + h^2
raiz34 = raiz25 + h^2

Passo 6

Agora, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
(raiz34)^2 = (raiz25 + h^2)^2
34 = 25 + h^2

Passo 7

Vamos resolver para $ h^2 $:
h^2
h^2 = 34 - 25

Passo 8

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ h $:
h
h = raiz9

Resposta

A altura $ h $ do prisma retangular é $ 3,0 $ unidades.

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