Assinale a alternativa que representa a série de Maclaurin da função g(x) = 1/(1-x)² sabendo que a série de Maclaurin da função f(x) = 1/1-x é: 1/1-x = 1 + x + x² + x³ + … + x^n + … , para -1 menor que x menor que 1. Respostas:
a) g(x) = x + x²/2 + x³/3 + x^4/4 + … + x^n/n + … , para -1 menor que x menor que 1.
b) g(x) = 1 + 2x + 3x² + 4x³ + … + nx^n-1 + … , para -1 menor que x menor que 1.
c) g(x) = 2x + 3x² + 4x³ + … + nx^n-1 + … , para -1 menor que x menor que 1.
d) g(x) = 1 + 2x² + 3x³ + 4x^4 + … + nx^n + … para -1 menor que x menor que 1.
e) g(x) = x + x² + x³ + … + x^n-1 + … , para -1 menor que x menor que 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a série de Maclaurin da função $ g(x) = \frac{1}{(1 - x)^2} $. A série de Maclaurin é uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de potências de $ x $, e aqui a gente já sabe que para $ f(x) = \frac{1}{1 - x} $, a série é $ 1 + x + x^2 + x^3 + \dots $ para $ -1 < x < 1 $. Vamos usar esse conhecimento para chegar na série de $ g(x) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $ g(x) = \frac{1}{(1 - x)^2} $ pode ser relacionada à função $ f(x) = \frac{1}{1 - x} $ através da derivada. Sabemos que a derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ nos dá uma nova função. Então, vamos calcular a derivada de $ f(x) $.

Passo 3

A derivada de $ f(x) = \frac{1}{1 - x} $ é:
f(x) = 11 - x
Então, $ g(x) $ é a derivada de $ f(x) $.

Passo 4

Agora, vamos derivar a série de Maclaurin de $ f(x) $ termo a termo. A série de $ f(x) $ é:
f(x)
Derivando cada termo em relação a $ x $, temos:
f(x)

Passo 5

Portanto, a série de Maclaurin para $ g(x) = f’(x) $ é:
g(x) = f'(x)
Essa é a forma da série que estamos procurando.

Resposta

A alternativa correta é a b):
g(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + dots + nx^n-1 + dots para -1 < x < 1

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