O alumínio ( rhoAl approx 2,92 cdot 10^-8 Omega m ) é utilizado na confecção de um par de condutores elétri cos de 1 km de comprimento por 4 mm^2 de seção transversal. Eles são utilizados para transmitir energia elétrica de um gerador de tensão de E[V] para uma carga de resistência RC=65,7 Omega. Pede-se:
e) Determinar a área da seção transversal do par de condutores de cobre admitindo que a mesma perda nos condutores verificada no item c) seja tolerada;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a transmissão de energia elétrica usando condutores de alumínio e cobre. A gente vai precisar usar conceitos de resistividade elétrica e cálculo de área da seção transversal dos condutores para garantir que a perda de energia seja a mesma nos dois materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a perda de energia nos condutores acontece por causa da resistência elétrica. Essa perda pode ser calculada pela fórmula:
Pperda = I^2 cdot R
Onde:
  • $ P_{perda} $ é a potência perdida,
  • $ I $ é a corrente elétrica,
  • $ R $ é a resistência dos condutores.

Passo 3

A resistência $ R $ de um condutor é dada por:
R
Onde:
  • $ \rho $ é a resistividade do material,
  • $ L $ é o comprimento do condutor,
  • $ A $ é a área da seção transversal.

Passo 4

Como temos um par de condutores, a resistência total será:
Rtotal = 2 cdot R = 2 cdot rho cdot LA
Queremos que a perda de energia nos condutores de cobre seja igual à dos de alumínio. Então:
2 cdot rhoCu cdot LACu = 2 cdot rhoAl cdot LAAl
Podemos simplificar cancelando os fatores comuns:
rhoCu cdot 1ACu = rhoAl cdot 1AAl

Passo 5

Agora, isolamos $ A_{Cu} $:
ACu

Passo 6

Vamos substituir os valores que temos. Sabemos que:
  • $ \rho_{Al} = 2,92 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $
  • A área do alumínio $ A_{Al} = 4 , mm^{2} $
  • A resistividade do cobre $ \rho_{Cu} = 1,68 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $ (valor padrão)
Substituindo na fórmula:
rhoAl = 2,92 times 10^-8 , Omega cdot m

Passo 7

Calculando:
ACu = 6,72 times 10^-82,92 times 10^-8 , mm^2
ACu approx 2,3 , mm^2

Resposta

A área da seção transversal dos condutores de cobre deve ser aproximadamente $ 2,3 , mm^{2} $ para que a perda de energia seja a mesma que a dos condutores de alumínio.

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