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1^a Questão (2,0) Considere a curva plana y=x^2, z=0 como diretriz e a reta r: x=t, y=t, z=t como geratriz de um cilindro. Determine sua equação cartesiana.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação cartesiana de um cilindro que tem como diretriz a curva y = x^2 no plano z = 0 e como geratriz a reta r: x = t, y = t, z = t. Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são diretriz e geratriz. A diretriz é a curva base que, ao ser “arrastada” pelas geratrizes (linhas retas), forma o cilindro. No nosso caso, a diretriz é a parábola y = x^2 no plano z = 0. A geratriz é a reta que, movendo-se ao longo da diretriz, gera o cilindro. A reta geratriz dada é r: x = t, y = t, z = t, que está na direção do vetor (1, 1, 1).

Passo 3

Vamos parametrizar o cilindro. Para cada ponto na diretriz, representado por (s, s^2, 0), temos uma reta paralela à geratriz. As equações paramétricas dessas linhas são:
x = s + t y = s^2 + t z = t
Aqui, s varia ao longo da diretriz e t ao longo da geratriz.

Passo 4

Nosso objetivo é eliminar os parâmetros s e t para obter uma equação só em termos de x, y e z. Observando a terceira equação, vemos que $ t = z $. Substituindo t = z por t na primeira equação, temos $ s = x - z $.

Passo 5

Agora, substituímos s e t nas outras equações para eliminar os parâmetros:
y = (x - z)^2 + z
Essa é a equação cartesiana do cilindro que estamos procurando.

Resposta

A equação cartesiana do cilindro é:
y = (x - z)^2 + z

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