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Matrícula: Nota: Questão Considere a curva plana como diretriz e a reta como geratriz de um cilindro. Determine sua equação cartesiana.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação cartesiana de um cilindro que tem como diretriz a curva no plano e como geratriz a reta . Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são diretriz e geratriz. A diretriz é a curva base que, ao ser “arrastada” pelas geratrizes (linhas retas), forma o cilindro. No nosso caso, a diretriz é a parábola no plano . A geratriz é a reta que, movendo-se ao longo da diretriz, gera o cilindro. A reta geratriz dada é , que está na direção do vetor .
Passo 3
Vamos parametrizar o cilindro. Para cada ponto na diretriz, representado por , temos uma reta paralela à geratriz. As equações paramétricas dessas linhas são:
Aqui, varia ao longo da diretriz e ao longo da geratriz.
Passo 4
Nosso objetivo é eliminar os parâmetros e para obter uma equação só em termos de , e . Observando a terceira equação, vemos que $ t = z $. Substituindo por na primeira equação, temos $ s = x - z $.
Passo 5
Agora, substituímos e nas outras equações para eliminar os parâmetros:
Essa é a equação cartesiana do cilindro que estamos procurando.