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Questão
Considere a curva plana
como diretriz e a reta
como geratriz de um cilindro. Determine sua equação cartesiana.
Matrícula:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação cartesiana de um cilindro que tem como diretriz a curva
no plano
e como geratriz a reta
. Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são diretriz e geratriz. A diretriz é a curva base que, ao ser “arrastada” pelas geratrizes (linhas retas), forma o cilindro. No nosso caso, a diretriz é a parábola
no plano
. A geratriz é a reta que, movendo-se ao longo da diretriz, gera o cilindro. A reta geratriz dada é
, que está na direção do vetor
.
Passo 3
Vamos parametrizar o cilindro. Para cada ponto na diretriz, representado por
, temos uma reta paralela à geratriz. As equações paramétricas dessas linhas são:
Aqui,
varia ao longo da diretriz e
ao longo da geratriz.
Passo 4
Nosso objetivo é eliminar os parâmetros
e
para obter uma equação só em termos de
,
e
. Observando a terceira equação, vemos que $ t = z $. Substituindo
por
na primeira equação, temos $ s = x - z $.
Passo 5
Agora, substituímos
e
nas outras equações para eliminar os parâmetros:
Essa é a equação cartesiana do cilindro que estamos procurando.
Resposta
A equação cartesiana do cilindro é: