Considere as retas r: x-54=y-33=z-2 e s: x-3=y-12=z+1-1.
© Diga se r, s LI ou LD (justificando);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se os vetores das retas e são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com vetores e sua independência. Para resolver isso, vamos precisar identificar os vetores diretores das retas e e então verificar se um é múltiplo do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas 4 3 1 e 1 2 -1 .
Para a reta :
A equação está na forma , onde é um ponto da reta e é o vetor diretor.
Então, o vetor diretor da reta é .
Para a reta :
A equação está na forma também.
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores e , precisamos verificar se eles são linearmente independentes ou dependentes.
Dois vetores são:
  • Linearmente Dependentes (LD) se um for múltiplo do outro, ou seja, existe um escalar tal que .
  • Linearmente Independentes (LI) se não houver tal escalar.
Vamos verificar se existe um que satisfaça .

Passo 4

Vamos comparar as componentes dos vetores:
1 2 -1 e 4 3 1 .
Queremos encontrar 1 = 4k 2 = 3k -1 = 1k tal que:
Vamos resolver cada equação para :

Passo 5

Observamos que os valores de obtidos são diferentes ( , , e ). Isso significa que não existe um único escalar que satisfaça todas as três equações simultaneamente.

Passo 6

Como não existe um único que relacione e , concluímos que os vetores não são múltiplos um do outro.

Resposta

Os vetores e são linearmente independentes (LI).

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