Sejam A(1,2,-1), B(3,1,1) e C(4,3,3). Calcule a altura do triângulo A B C relativo ao lado A B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem os pontos , e que formam um triângulo no espaço tridimensional. Nosso objetivo aqui é encontrar a altura desse triângulo em relação ao lado . Para isso, vamos usar conhecimentos de vetores e geometria no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados AB = B - A = (3-1,, 1-2,, 1-(-1)) = (2, -1, 2) e AC = C - A = (4-1,, 3-2,, 3-(-1)) = (3, 1, 4) do triângulo. Para achar um vetor entre dois pontos, subtraímos as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do ponto final.
Então, o vetor é:
E o vetor é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores, AB times AC = i & j & k 2 & -1 & 2 3 & 1 & 4 . O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular aos dois vetores originais e cujo módulo é igual à área do paralelogramo formado por eles.
Usando a fórmula do produto vetorial:
AB times AC = i((-1)(4) - (2)(1)) - j((2)(4) - (2)(3)) + k((2)(1) - (-1)(3)) = (-4 - 2)i - (8 - 6)j + (2 + 3)k = (-6)i - 2j + 5k
Calculando o determinante:
AB times AC = (-6, -2, 5)
Portanto:

Passo 4

O próximo passo é encontrar o módulo desse vetor resultante, que nos dará a área do paralelogramo. A área do triângulo será metade disso.
Calculando o módulo:
|AB times AC| = raiz(-6)^2 + (-2)^2 + 5^2 = raiz36 + 4 + 25 = raiz65
Então, a área do paralelogramo é Área do triângulo = raiz652 e a área do triângulo é:
Áâ

Passo 5

Agora, vamos calcular o comprimento do lado AB = raiz(3-1)^2 + (1-2)^2 + (1-(-1))^2 = raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3 , que será a base para encontrar a altura. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:

Passo 6

Com a área do triângulo e o comprimento da base Área = base times a, podemos encontrar a altura h = 2 times raiz6523 = raiz653 usando a fórmula da área:
ÁÁ
Substituindo os valores:

Resposta

A altura do triângulo relativo ao lado é .

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