Sejam e . Calcule a altura do triângulo relativo ao lado .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem os pontos , e que formam um triângulo no espaço tridimensional. Nosso objetivo aqui é encontrar a altura desse triângulo em relação ao lado . Para isso, vamos usar conhecimentos de vetores e geometria no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados e do triângulo. Para achar um vetor entre dois pontos, subtraímos as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do ponto final.
Então, o vetor é:
E o vetor é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores, . O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular aos dois vetores originais e cujo módulo é igual à área do paralelogramo formado por eles.
Usando a fórmula do produto vetorial:
Calculando o determinante:
AB times AC = (-6, -2, 5)
Portanto:
Passo 4
O próximo passo é encontrar o módulo desse vetor resultante, que nos dará a área do paralelogramo. A área do triângulo será metade disso.
Então, a área do paralelogramo é Área do triângulo = raiz652 e a área do triângulo é:
Áâ
Passo 5
Agora, vamos calcular o comprimento do lado AB = raiz(3-1)^2 + (1-2)^2 + (1-(-1))^2 = raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3 , que será a base para encontrar a altura. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
Passo 6
Com a área do triângulo e o comprimento da base Área = base times a, podemos encontrar a altura h = 2 times raiz6523 = raiz653 usando a fórmula da área: