Considere as retas e .
(f) Encontre um ponto e um ponto tais que o vetor seja ortogoual vetores diretores de e .
Dica: Escreva como un um genérico de e como um ponto generico de s, us
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar dois pontos, na reta e na reta , de forma que o vetor seja ortogonal (ou perpendicular) aos vetores diretores das retas e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre retas no espaço e produtos escalares para verificar a ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das retas e .
Para a reta :
Isso nos dá:
Então, um ponto genérico na reta é:
Para a reta :
Isso nos dá:
Então, um ponto genérico na reta é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor . Subtraindo as coordenadas de e :
Passo 4
Sabemos que deve ser ortogonal aos vetores diretores de e . Vamos identificar esses vetores.
Para a reta , o vetor diretor é:
Para a reta , o vetor diretor é:
A ortogonalidade pode ser verificada usando o produto escalar. Se dois vetores são ortogonais, o produto escalar entre eles é zero.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar de com e com e igualar a zero.
Primeiro, :
Simplificando:
çã
Segundo, :
Simplificando:
çã
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, multiplicar a Equação 2 por 9 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a Equação 1 da nova Equação 2:
Substituindo na Equação 2:
Agora, substituindo na expressão de :
Passo 7
Com os valores de e encontrados ( e ), vamos encontrar os pontos e .
Para na reta :
Para na reta :
Resposta
O ponto na reta é e o ponto na reta é . Assim, o vetor é ortogonal aos vetores diretores das retas e .