Considere as retas e .
(f) Encontre um ponto e um ponto tais que o vetor seja ortogoual vetores diretores de r e s.
Dica: Escreva P como un um genérico de r e Q como um ponto generico de s, us
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar dois pontos, na reta e na reta , de forma que o vetor seja ortogonal (ou perpendicular) aos vetores diretores das retas e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre retas no espaço e produtos escalares para verificar a ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das retas x - 54 = y - 33 = z - 2 = t e x = 5 + 4t, y = 3 + 3t, z = 2 + t .
Para a reta P(t) = (5 + 4t, 3 + 3t, 2 + t) :
x - 3 = y - 12 = z + 1-1 = s
Isso nos dá:
x = 3 + s, y = 1 + 2s, z = -1 - s
Então, um ponto genérico Q(s) = (3 + s, 1 + 2s, -1 - s) na reta é:
Para a reta :
Isso nos dá:
Então, um ponto genérico na reta é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor PQ = Q(s) - P(t) = (3 + s - (5 + 4t), 1 + 2s - (3 + 3t), -1 - s - (2 + t)) = (-2 + s - 4t, -2 + 2s - 3t, -3 - s - t) . Subtraindo as coordenadas de e :
Passo 4
Sabemos que r = (4, 3, 1) deve ser ortogonal aos vetores diretores de s = (1, 2, -1) e . Vamos identificar esses vetores.
Para a reta , o vetor diretor é:
Para a reta , o vetor diretor é:
A ortogonalidade pode ser verificada usando o produto escalar. Se dois vetores são ortogonais, o produto escalar entre eles é zero.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar de (-2 + s - 4t) cdot 4 + (-2 + 2s - 3t) cdot 3 + (-3 - s - t) cdot 1 = 0 com -8 + 4s - 16t -6 + 6s -9t -3 - s - t = 0 e com (4s + 6s - s) + (-16t -9t - t) + (-8 -6 -3) = 0 e igualar a zero.