Considere as retas r: x-54=y-33=z-2 e s: x-3=y-12=z+1-1.
(f) Encontre um ponto P in r e um ponto Q in s tais que o vetor P Q seja ortogoual vetores diretores de r e s.
Dica: Escreva P como un um genérico de r e Q como um ponto generico de s, us

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar dois pontos, na reta e na reta , de forma que o vetor seja ortogonal (ou perpendicular) aos vetores diretores das retas e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre retas no espaço e produtos escalares para verificar a ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das retas x - 54 = y - 33 = z - 2 = t e x = 5 + 4t, y = 3 + 3t, z = 2 + t .
Para a reta P(t) = (5 + 4t, 3 + 3t, 2 + t) :
x - 3 = y - 12 = z + 1-1 = s
Isso nos dá:
x = 3 + s, y = 1 + 2s, z = -1 - s
Então, um ponto genérico Q(s) = (3 + s, 1 + 2s, -1 - s) na reta é:
Para a reta :
Isso nos dá:
Então, um ponto genérico na reta é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor PQ = Q(s) - P(t) = (3 + s - (5 + 4t), 1 + 2s - (3 + 3t), -1 - s - (2 + t)) = (-2 + s - 4t, -2 + 2s - 3t, -3 - s - t) . Subtraindo as coordenadas de e :

Passo 4

Sabemos que r = (4, 3, 1) deve ser ortogonal aos vetores diretores de s = (1, 2, -1) e . Vamos identificar esses vetores.
Para a reta , o vetor diretor é:
Para a reta , o vetor diretor é:
A ortogonalidade pode ser verificada usando o produto escalar. Se dois vetores são ortogonais, o produto escalar entre eles é zero.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar de (-2 + s - 4t) cdot 4 + (-2 + 2s - 3t) cdot 3 + (-3 - s - t) cdot 1 = 0 com -8 + 4s - 16t -6 + 6s -9t -3 - s - t = 0 e com (4s + 6s - s) + (-16t -9t - t) + (-8 -6 -3) = 0 e igualar a zero.
Primeiro, 9s -26t -17 = 0 Rightarrow 9s -26t = 17 (Equação 1) :
(-2 + s - 4t) cdot 1 + (-2 + 2s - 3t) cdot 2 + (-3 - s - t) cdot (-1) = 0
Simplificando:
-2 + s - 4t -4 + 4s -6t +3 + s + t = 0
(s + 4s + s) + (-4t -6t + t) + (-2 -4 +3) = 0
6s -9t -3 = 0 Rightarrow 6s -9t = 3 Rightarrow 2s -3t = 1 (Equação 2) çã
Segundo, :
Simplificando:
çã

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
9s -26t = 17 (Equação 1) 2s -3t = 1 (Equação 2) çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, multiplicar a Equação 2 por 9 para facilitar a eliminação:
9s -26t = 17 18s -27t = 9
Subtraindo a Equação 1 da nova Equação 2:
(18s -27t) - (9s -26t) = 9 -17
9s -t = -8 Rightarrow t = 9s +8
Substituindo 2s -3(9s +8) =1 na Equação 2:
2s -27s -24 =1
-25s =25 Rightarrow s = -1
t = 9(-1) +8 = -9 +8 = -1
Agora, substituindo na expressão de :

Passo 7

Com os valores de P(-1) = (5 + 4(-1), 3 + 3(-1), 2 + (-1)) = (5 -4, 3 -3, 2 -1) = (1, 0, 1) e Q(-1) = (3 + (-1), 1 + 2(-1), -1 - (-1)) = (2, 1 -2, -1 +1) = (2, -1, 0) encontrados ( e ), vamos encontrar os pontos e .
Para na reta :
Para na reta :

Resposta

O ponto na reta é e o ponto na reta é . Assim, o vetor é ortogonal aos vetores diretores das retas e .

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