Questão (2,0) Considere a curva plana
0 como diretriz e o ponto
como vértice de um cone. Determine sua equação cartesiana.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me disse que temos uma curva plana
, com
, que serve como diretriz de um cone. O vértice desse cone está no ponto
. Nosso objetivo é descobrir qual é a equação cartesianade esse cone.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um cone no espaço. Um cone é formado por todas as retas que ligam o vértice a cada ponto da diretriz. Aqui, a diretriz é a reta
no plano
, e o vértice está acima desse plano, no ponto
.
Passo 3
Para encontrar a equação do cone, precisamos relacionar as coordenadas de um ponto qualquer
que esteja na superfície do cone com a diretriz e o vértice. A ideia é que a distância do ponto
até a diretriz, ajustada pela sua altura
, satisfaça uma certa relação geométrica.
Passo 4
Vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta no espaço. A distância
de
até a diretriz
é dada por:
Como o vértice está no ponto
, a relação entre
e
para todos os pontos no cone é proporcional. Isso leva à equação geral do cone:
Onde
é uma constante. Substituindo
:
Para simplificar, podemos eliminar o valor absoluto e levar todos os termos ao mesmo lado:
Para determinar
, podemos considerar que quando
, os pontos estão na diretriz, mas como a diretriz está no
, na verdade, precisamos ajustar a equação considerando a relação direta entre
e
.
Passo 5
Simplificando e reorganizando para obter a equação do cone, acabamos com:
Resposta
A equação cartesiana do cone é
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Calcule a altura do triângulo
relativo ao lado
.
Aluno:
Data:
/
Matrícula: Nota:
Questão
Considere a curva plana
como diretriz e a reta
como geratriz de um cilindro. Determine sua equação cartesiana.
Matrícula:
Sabendo que
e
, calcule
Para as matrizes
e
dadas a seguir, calcule
e calcule
. Em seguida explique porque a igualdade
em geral não é válida para matrizes.