2^a Questão (2,0) Considere a curva plana y=3 x+2, z= 0 como diretriz e o ponto (0,0,1) como vértice de um cone. Determine sua equação cartesiana.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me disse que temos uma curva plana , com , que serve como diretriz de um cone. O vértice desse cone está no ponto . Nosso objetivo é descobrir qual é a equação cartesianade esse cone.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um cone no espaço. Um cone é formado por todas as retas que ligam o vértice a cada ponto da diretriz. Aqui, a diretriz é a reta no plano , e o vértice está acima desse plano, no ponto .

Passo 3

Para encontrar a equação do cone, precisamos relacionar as coordenadas de um ponto qualquer que esteja na superfície do cone com a diretriz e o vértice. A ideia é que a distância do ponto até a diretriz, ajustada pela sua altura , satisfaça uma certa relação geométrica.

Passo 4

Vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta no espaço. A distância D = |3x - y + 2|raiz3^2 + (-1)^2 = |3x - y + 2|raiz10 de D = k cdot z até a diretriz |3x - y + 2|raiz10 = k cdot z é dada por:
3x - y + 2 = k cdot z cdot raiz10
Como o vértice está no ponto , a relação entre e para todos os pontos no cone é proporcional. Isso leva à equação geral do cone:
Onde é uma constante. Substituindo :
Para simplificar, podemos eliminar o valor absoluto e levar todos os termos ao mesmo lado:
Para determinar , podemos considerar que quando , os pontos estão na diretriz, mas como a diretriz está no , na verdade, precisamos ajustar a equação considerando a relação direta entre e .

Passo 5

Simplificando e reorganizando para obter a equação do cone, acabamos com:
(3x - y + 2)^2 = 10 z^2

Resposta

A equação cartesiana do cone é .

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