Um aluno(precipitado) ao calcular a integral
, raciocinou da seguinte forma: fazendo
e os novos extremos de integração seriam iguais a 2 (
e
. Logo, por propriedade de integral ele concluiu que
. Onde está o erro? Interprete geometricamente tal situação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um aluno que tentou calcular a integral definida de
no intervalo de
a
usando substituição. O conteúdo aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável) para resolver integrais. Vamos precisar entender como funciona a substituição correta e identificar onde o aluno errou.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que o aluno fez. Ele fez a substituição
. Para usar a substituição, a gente também transforma o diferencial
. Derivando
em relação a
, temos:
Agora, o aluno tentou mudar os limites de integração de acordo com
. Quando
:
E quando
:
Então, segundo ele, os novos limites de integração seriam ambos iguais a
.
Passo 3
Aqui está onde o erro acontece. Quando os novos limites de integração ficam iguais (
para
e
), a integral fica assim:
Por isso, o aluno concluiu que a integral é zero. Mas será que é verdade? Vamos pensar na função
. Ela é sempre positiva e simétrica em relação ao eixo
. Geometricamente, isso significa que a área sob a curva de
a
definitivamente não é zero.
Passo 4
O erro do aluno está na escolha da substituição. A substituição
não é adequada aqui porque a função
não é injetora no intervalo
. Isso quer dizer que para dois valores diferentes de
(
e
), obtemos o mesmo valor de
. Quando isso acontece, a substituição não cobre corretamente todo o intervalo de
sem sobreposição, levando a uma avaliação incorreta da integral.
Geometricamente, ao fazer essa substituição, o aluno basicamente ignora a contribuição de toda a área sob a curva porque acabou estipulando que o “novo” intervalo tem comprimento zero, o que claramente não faz sentido.
Passo 5
Para resolver a integral corretamente, podemos simplesmente calcular diretamente:
Vamos calcular cada parte:
Somando as duas partes:
Resposta
O erro está na escolha da substituição
, que leva a limites de integração iguais e faz a integral parecer zero. Na verdade, a integral correta é
. Geometricamente, a área sob a curva
de
a
é positiva e igual a
.
Exercícios relacionados
Utilizando o método de mudança de variável, calcule as integrais abaixo:
Calcule:
Calcule:
Calcule: