Um aluno(precipitado) ao calcular a integral , raciocinou da seguinte forma: fazendo e os novos extremos de integração seriam iguais a 2 ( e . Logo, por propriedade de integral ele concluiu que . Onde está o erro? Interprete geometricamente tal situação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um aluno que tentou calcular a integral definida de no intervalo de a usando substituição. O conteúdo aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável) para resolver integrais. Vamos precisar entender como funciona a substituição correta e identificar onde o aluno errou.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que o aluno fez. Ele fez a substituição . Para usar a substituição, a gente também transforma o diferencial . Derivando em relação a , temos:
Agora, o aluno tentou mudar os limites de integração de acordo com . Quando :
E quando :
Então, segundo ele, os novos limites de integração seriam ambos iguais a .

Passo 3

Aqui está onde o erro acontece. Quando os novos limites de integração ficam iguais ( para e ), a integral fica assim:
Por isso, o aluno concluiu que a integral é zero. Mas será que é verdade? Vamos pensar na função . Ela é sempre positiva e simétrica em relação ao eixo . Geometricamente, isso significa que a área sob a curva de a definitivamente não é zero.

Passo 4

O erro do aluno está na escolha da substituição. A substituição não é adequada aqui porque a função não é injetora no intervalo . Isso quer dizer que para dois valores diferentes de ( e ), obtemos o mesmo valor de . Quando isso acontece, a substituição não cobre corretamente todo o intervalo de sem sobreposição, levando a uma avaliação incorreta da integral.
Geometricamente, ao fazer essa substituição, o aluno basicamente ignora a contribuição de toda a área sob a curva porque acabou estipulando que o “novo” intervalo tem comprimento zero, o que claramente não faz sentido.

Passo 5

Para resolver a integral corretamente, podemos simplesmente calcular diretamente:
Vamos calcular cada parte:
Somando as duas partes:

Resposta

O erro está na escolha da substituição , que leva a limites de integração iguais e faz a integral parecer zero. Na verdade, a integral correta é . Geometricamente, a área sob a curva de a é positiva e igual a .

Exercícios relacionados

Utilizando o método de mudança de variável, calcule as integrais abaixo:
Calcule:
Calcule:
Calcule: