Calcule: integral2^4 x^-1+2^x cdot ln (2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de 2 a 4. Isso envolve entender um pouco de cálculo integral, especialmente integrais de funções exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral2^4 x^-1 , dx + integral2^4 2^x cdot ln(2) , dx
Isso porque a integral da soma é a soma das integrais.

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: integral x^-1 , dx = ln|x| + C . Sabemos que a integral de é o logaritmo natural de , ou seja:
Como estamos fazendo uma integral definida, o (constante de integração) não se aplica aqui.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral: integral a^x cdot ln(a) , dx = a^x + C . Aqui, usamos a fórmula da integral de uma função exponencial:
integral 2^x cdot ln(2) , dx = 2^x + C
No nosso caso, , então:

Passo 5

Juntando as duas partes que integramos, a integral definida fica:
[ ln(x) + 2^x ]2^4
Isso significa que vamos calcular e subtrair .

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
ln(4) + 2^4 = ln(4) + 16
ln(2) + 2^2 = ln(2) + 4

Passo 7

Agora, subtraímos os dois resultados:
(ln(4) + 16) - (ln(2) + 4) = ln(4) - ln(2) + 12
Sabemos que 2ln(2) - ln(2) + 12 = ln(2) + 12 , então:

Resposta

A integral definida é .

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