Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de
no intervalo de 2 a 4. Isso envolve entender um pouco de cálculo integral, especialmente integrais de funções exponenciais e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Isso porque a integral da soma é a soma das integrais.
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral:
. Sabemos que a integral de
é o logaritmo natural de
, ou seja:
Como estamos fazendo uma integral definida, o
(constante de integração) não se aplica aqui.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda integral:
. Aqui, usamos a fórmula da integral de uma função exponencial:
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Juntando as duas partes que integramos, a integral definida fica:
Isso significa que vamos calcular
e subtrair
.
Passo 6
Vamos calcular cada parte:
Passo 7
Agora, subtraímos os dois resultados:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral definida é
.
Exercícios relacionados
Utilize o método de integração por partes para calcular as seguintes integrais:
Calcule:
Utilizando o método de mudança de variável, calcule as integrais abaixo:
Um aluno(precipitado) ao calcular a integral
, raciocinou da seguinte forma: fazendo
e os novos extremos de integração seriam iguais a 2 (
e
. Logo, por propriedade de integral ele concluiu que
. Onde está o erro? Interprete geometricamente tal situação.