Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de 2 a 4. Isso envolve entender um pouco de cálculo integral, especialmente integrais de funções exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Isso porque a integral da soma é a soma das integrais.

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: . Sabemos que a integral de é o logaritmo natural de , ou seja:
Como estamos fazendo uma integral definida, o (constante de integração) não se aplica aqui.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral: . Aqui, usamos a fórmula da integral de uma função exponencial:
No nosso caso, , então:

Passo 5

Juntando as duas partes que integramos, a integral definida fica:
Isso significa que vamos calcular e subtrair .

Passo 6

Vamos calcular cada parte:

Passo 7

Agora, subtraímos os dois resultados:
Sabemos que , então:

Resposta

A integral definida é .

Exercícios relacionados

Utilize o método de integração por partes para calcular as seguintes integrais:
Calcule:
Utilizando o método de mudança de variável, calcule as integrais abaixo:
Um aluno(precipitado) ao calcular a integral , raciocinou da seguinte forma: fazendo e os novos extremos de integração seriam iguais a 2 ( e . Logo, por propriedade de integral ele concluiu que . Onde está o erro? Interprete geometricamente tal situação.