Calcule: integral-1^3(4 x^3-2 x^2+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de uma função polinomial, especificamente . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, onde buscamos a área sob a curva dessa função entre os pontos e . Para isso, vamos precisar encontrar a antiderivada da função e depois aplicar o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada da função integral (4x^3) dx = 44x^4 = x^4 . A antiderivada é uma função cuja derivada é a função original. Para polinômios, a gente integra termo a termo aumentando o expoente em 1 e dividindo pelo novo expoente.
Então:
integral (-2x^2) dx = -2 cdot 13x^3 = -23x^3
integral 1 dx = x

Passo 3

Agora, juntando tudo, a antiderivada F(x) = x^4 - 23x^3 + x + C da função original é:
Como estamos calculando uma integral definida, o termo constante vai se cancelar, então não precisamos nos preocupar com ele.

Passo 4

Aplicando os limites de integra��ão, ou seja, substituindo F(3) = 3^4 - 23(3)^3 + 3 = 81 - 23(27) + 3 = 81 - 18 + 3 = 66 e F(-1) = (-1)^4 - 23(-1)^3 + (-1) = 1 - 23(-1) -1 = 1 + 23 -1 = 23 na antiderivada e subtraindo os resultados:
Primeiro, para :
Depois, para :

Resposta

A integral definida é igual a .

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