Utilizando o método de mudança de variável, calcule as integrais abaixo: integral1^2 x raizx^2+1 d x

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida usando o método de mudança de variável. Isso envolve conhecimento de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para facilitar a resolução de integrais.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma parte da função que pode ser substituída para simplificar a integral. Observamos que dentro da raiz temos , cuja derivada é , que está relacionada com o coeficiente fora da raiz. Isso sugere que podemos fazer a substituição:

Passo 3

Agora, precisamos expressar em termos de . Derivando ambos os lados da substituição em relação a :
Isolando :

Passo 4

Substituímos integral1^2 x raizx^2+1 , dx = integralu(1)^u(2) x raizu cdot du2x e integralu(1)^u(2) raizu2 , du na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para os novos limites em termos de :
Para :
Para :
Então, os novos limites de integração são de a .

Passo 6

A integral simplificada fica então:
12 integral2^5 u^1/2 , du
Agora, integramos 12 cdot ( u^3/232 ) gr|2^5 = 12 cdot ( 23 u^3/2 ) gr|2^5 = 13 ( u^3/2 ) gr|2^5 :

Passo 7

Substituímos os limites de integração:
13 ( 5^3/2 - 2^3/2 )
Calculando 5^3/2 = raiz5^3 = raiz125 = 5raiz5 e 2^3/2 = raiz2^3 = raiz8 = 2raiz2 :
13 ( 5raiz5 - 2raiz2 )
Portanto:

Resposta

O valor da integral é .

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