Utilizando o método de mudança de variável, calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida usando o método de mudança de variável. Isso envolve conhecimento de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para facilitar a resolução de integrais.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma parte da função que pode ser substituída para simplificar a integral. Observamos que dentro da raiz temos , cuja derivada é , que está relacionada com o coeficiente fora da raiz. Isso sugere que podemos fazer a substituição:

Passo 3

Agora, precisamos expressar em termos de . Derivando ambos os lados da substituição em relação a :
Isolando :

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para os novos limites em termos de :
Para :
Para :
Então, os novos limites de integração são de a .

Passo 6

A integral simplificada fica então:
Agora, integramos :

Passo 7

Substituímos os limites de integração:
Calculando e :
Portanto:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule:
Utilize o método de integração por partes para calcular as seguintes integrais:
Um aluno(precipitado) ao calcular a integral , raciocinou da seguinte forma: fazendo e os novos extremos de integração seriam iguais a 2 ( e . Logo, por propriedade de integral ele concluiu que . Onde está o erro? Interprete geometricamente tal situação.
Calcule: