Calcule: integral2^3 raizx(x^3-3 x+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de 2 a 3. Isso envolve cálculo integral, especificamente a técnica de integrar funções polinomiais multiplicadas por funções de potência simples. Para resolver, vamos precisar distribuir o dentro dos parênteses e depois integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que raizx(x^3 - 3x + 1) = x^1/2 cdot x^3 - 3x^1/2 cdot x + x^1/2 cdot 1 é o mesmo que . Então, vamos multiplicar por cada termo dentro dos parênteses:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar as potências de x^1/2 cdot x^3 = x^7/2, -3x^1/2 cdot x = -3x^3/2, x^1/2 cdot 1 = x^1/2 usando a regra integral2^3 raizx(x^3 - 3x + 1) , dx = integral2^3 ( x^7/2 - 3x^3/2 + x^1/2 ) , dx :
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo individualmente. A regra de integração para integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C é:
integral x^7/2 , dx = x^9/29/2 = 29x^9/2
Aplicando isso a cada termo:
integral -3x^3/2 , dx = -3 cdot x^5/25/2 = -65x^5/2
integral x^1/2 , dx = x^3/23/2 = 23x^3/2

Passo 5

Agora, juntando as integrais calculadas:
integral2^3 ( x^7/2 - 3x^3/2 + x^1/2 ) , dx = [ 29x^9/2 - 65x^5/2 + 23x^3/2 ]2^3

Passo 6

Agora, vamos avaliar a expressão no limite superior (3) e no limite inferior (2) e depois subtrair:
Primeiro, para 29(3)^9/2 - 65(3)^5/2 + 23(3)^3/2 :
29(2)^9/2 - 65(2)^5/2 + 23(2)^3/2
E para :

Passo 7

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, para 3^9/2 = (3^1/2)^9 = (raiz3)^9 approx 46.765 :
3^5/2 = (raiz3)^5 approx 7.593
3^3/2 = (raiz3)^3 approx 5.196
29 times 46.765 approx 10.392
Então:
-65 times 7.593 approx -9.112
23 times 5.196 approx 3.464
10.392 - 9.112 + 3.464 approx 4.744
Somando esses valores:
2^9/2 = (2^1/2)^9 = (raiz2)^9 approx 22.627
Agora, para 2^5/2 = (raiz2)^5 approx 5.657 :
2^3/2 = (raiz2)^3 approx 2.828
29 times 22.627 approx 5.028
-65 times 5.657 approx -6.788
Então:
23 times 2.828 approx 1.886
5.028 - 6.788 + 1.886 approx 0.126
Somando esses valores:

Passo 8

Finalmente, subtraímos os valores obtidos nos limites superior e inferior:
4.744 - 0.126 = 4.618

Resposta

A integral definida é aproximadamente igual a 4,618.

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