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Numa área rural vive uma população de coelhos. Quando não existem fatores externos nem predadores os coelhos se reproduzem à uma taxa proporcional à própria população de modo que a população dobra a cada mês. Agora suponha que nesta região aparecem lobos que matam
coelhos por dia. Qual a população inicial mínima de coelhos para que os coelhos não entrem em extinção?
Numa área rural vive uma população de coelhos. Quando não existem fatores externos nem predadores os coelhos se reproduzem à uma taxa proporcional à própria população de modo que a população dobra a cada mês. Agora suponha que nesta região aparecem lobos que matam
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma população de coelhos que, sem predadores, dobra a cada mês. Mas agora apareceram lobos que matam
coelhos por dia. Precisamos descobrir qual é a população inicial mínima de coelhos para que eles não desapareçam.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a taxa de crescimento dos coelhos sem a presença dos lobos. Sabemos que a população dobra a cada mês (aproximadamente 30 dias). Podemos usar a fórmula do crescimento exponencial:
Onde:
-
é a população no tempo , -
é a população inicial, -
é a taxa de crescimento, -
é o tempo.
Sabemos que
, então:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, aplicando o logaritmo natural:
Passo 3
Com a taxa de crescimento
encontrada, vamos considerar a ação dos lobos. Eles matam
coelhos por dia, o que representa uma taxa de declínio constante na população. Para que os coelhos não entrem em extinção, a taxa de crescimento deve compensar exatamente a taxa de mortalidade.
Matematicamente, isso significa que a taxa de crescimento natural deve ser igual à taxa de mortalidade causada pelos lobos:
Passo 4
Resolvendo para
:
Resposta
A população inicial mínima de coelhos para que eles não entrem em extinção é: