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Numa área rural vive uma população de coelhos. Quando não existem fatores externos nem predadores os coelhos se reproduzem à uma taxa proporcional à própria população de modo que a população dobra a cada mês. Agora suponha que nesta região aparecem lobos que matam alpha coelhos por dia. Qual a população inicial mínima de coelhos para que os coelhos não entrem em extinção?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma população de coelhos que, sem predadores, dobra a cada mês. Mas agora apareceram lobos que matam alpha coelhos por dia. Precisamos descobrir qual é a população inicial mínima de coelhos para que eles não desapareçam.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a taxa de crescimento dos coelhos sem a presença dos lobos. Sabemos que a população dobra a cada mês (aproximadamente 30 dias). Podemos usar a fórmula do crescimento exponencial:
Onde:
  • é a população no tempo ,
  • é a população inicial,
  • é a taxa de crescimento,
  • é o tempo.
Sabemos que , então:
Dividindo ambos os lados por :
Agora, aplicando o logaritmo natural:

Passo 3

Com a taxa de crescimento encontrada, vamos considerar a ação dos lobos. Eles matam coelhos por dia, o que representa uma taxa de declínio constante na população. Para que os coelhos não entrem em extinção, a taxa de crescimento deve compensar exatamente a taxa de mortalidade.
Matematicamente, isso significa que a taxa de crescimento natural deve ser igual à taxa de mortalidade causada pelos lobos:

Passo 4

Resolvendo para :

Resposta

A população inicial mínima de coelhos para que eles não entrem em extinção é:

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