Alunos estão espalhando um boato de que a professora Gisele é legal. Um modelo para a propagação desse boato é que a taxa de propagação é proporcional a fração y da população que ouviu o boato. Em 2 minutos, 18 alunos tinham ouvido o boato. Em 5 minutos, 486 alunos tinham ouvido o boato. Quantos alunos sabiam inicialmente sobre o boato?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício envolvendo a propagação de um boato na escola. A professora Gisele é considerada legal, e o boato sobre isso está se espalhando. O conteúdo da matéria aqui é Modelos de Crescimento Exponencial. Para resolver, vamos precisar entender como uma quantidade cresce de forma proporcional ao que já existe, usando equações exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir o enunciado para uma equação matemática. A taxa de propagação do boato é proporcional à fração da população que já ouviu o boato. Isso significa que a mudança na quantidade de pessoas que ouviram o boato ao longo do tempo pode ser descrita por:
Onde:
  • é a taxa de mudança.
  • é a constante de proporcionalidade.
  • é a fração da população que ouviu o boato.

Passo 3

Resolvendo essa equação diferencial, temos que a solução geral é:
Aqui:
  • é a fração da população que ouviu o boato no tempo .
  • é a fração inicial da população que sabia do boato.

Passo 4

Agora, vamos usar as informações dadas para encontrar os valores de e . Sabemos que:
  • Em 2 minutos, 18 alunos ouviram o boato.
  • Em 5 minutos, 486 alunos ouviram o boato.
Vamos supor que o total de alunos na escola é . Então:

Passo 5

Para encontrar , vamos dividir as duas equações:
Então:

Passo 6

Agora que temos , vamos encontrar usando uma das equações iniciais. Vamos usar :

Passo 7

A fração inicial da população que sabia do boato é . Isso significa que o número inicial de alunos que sabiam do boato é:

Resposta

Inicialmente, 2 alunos sabiam sobre o boato.

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