Alunos estão espalhando um boato de que a professora Gisele é legal. Um modelo para a propagação desse boato é que a taxa de propagação é proporcional a fração
da população que ouviu o boato. Em 2 minutos, 18 alunos tinham ouvido o boato. Em 5 minutos, 486 alunos tinham ouvido o boato. Quantos alunos sabiam inicialmente sobre o boato?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício envolvendo a propagação de um boato na escola. A professora Gisele é considerada legal, e o boato sobre isso está se espalhando. O conteúdo da matéria aqui é Modelos de Crescimento Exponencial. Para resolver, vamos precisar entender como uma quantidade cresce de forma proporcional ao que já existe, usando equações exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir o enunciado para uma equação matemática. A taxa de propagação do boato é proporcional à fração
da população que já ouviu o boato. Isso significa que a mudança na quantidade de pessoas que ouviram o boato ao longo do tempo pode ser descrita por:
Onde:
-
é a taxa de mudança. -
é a constante de proporcionalidade. -
é a fração da população que ouviu o boato.
Passo 3
Resolvendo essa equação diferencial, temos que a solução geral é:
Aqui:
-
é a fração da população que ouviu o boato no tempo . -
é a fração inicial da população que sabia do boato.
Passo 4
Agora, vamos usar as informações dadas para encontrar os valores de
e
. Sabemos que:
- Em 2 minutos, 18 alunos ouviram o boato.
- Em 5 minutos, 486 alunos ouviram o boato.
Vamos supor que o total de alunos na escola é
. Então:
Passo 5
Para encontrar
, vamos dividir as duas equações:
Então:
Passo 6
Agora que temos
, vamos encontrar
usando uma das equações iniciais. Vamos usar
:
Passo 7
A fração inicial da população que sabia do boato é
. Isso significa que o número inicial de alunos que sabiam do boato é:
Resposta
Inicialmente, 2 alunos sabiam sobre o boato.