Considere a equação diferencial (2xy - 4x) + dy/dx = 0.
a) Indique se a equação é separável, exata, linear, autônoma ou nenhum desses tipos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial . Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de equação diferencial ela é. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de equações diferenciais, como ser separável, exata, linear ou autônoma.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a análise. Vamos colocar sozinho de um lado:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, e . Como conseguimos colocar a equação nessa forma, ela é linear.

Passo 4

Vamos conferir os outros tipos para ter certeza:
  • Separável: Uma equação é separável se conseguimos escrever como . Nossa equação linear não se encaixa nisso facilmente.
  • Exata: Para ser exata, deve satisfazer uma condição específica envolvendo derivadas parciais, o que não é o caso aqui.
  • Autônoma: Depende apenas de y e , sem a presença explícita de x. Nossa equação depende de x, então não é autônoma.

Resposta

A equação diferencial é linear.

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