Considere a equação diferencial
.
a) Indique se a equação é separável, exata, linear, autônoma ou nenhum desses tipos.
a) Indique se a equação é separável, exata, linear, autônoma ou nenhum desses tipos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
. Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de equação diferencial ela é. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de equações diferenciais, como ser separável, exata, linear ou autônoma.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a análise. Vamos colocar
sozinho de um lado:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma:
Comparando com a nossa equação:
Aqui,
e
. Como conseguimos colocar a equação nessa forma, ela é linear.
Passo 4
Vamos conferir os outros tipos para ter certeza:
-
Separável: Uma equação é separável se conseguimos escrever como
. Nossa equação linear não se encaixa nisso facilmente. -
Exata: Para ser exata, deve satisfazer uma condição específica envolvendo derivadas parciais, o que não é o caso aqui.
-
Autônoma: Depende apenas de
e , sem a presença explícita de . Nossa equação depende de , então não é autônoma.
Resposta
A equação diferencial é linear.