Uma bola de massa
é lançada verticalmente para cima a partir da superfície da Terra com uma velocidade inicial positiva
. Assumimos que as forças agindo na bola sejam a força da gravidade e a força da resistência do ar com sentido oposto ao sentido do movimento e com módulo
, onde
é uma constante positiva e
é a velocidade no instante
.( Durante a subida,
é positiva e a resistência do ar age para baixo; durante a descida,
é negativa e a resistência do ar age para cima)
d) Use o resultado do item (b) para calcular o limite de
quando
, isso é , quando a massa se aproxima de zero.
d) Use o resultado do item (b) para calcular o limite de
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (d) desse exercício de física. A gente está lidando com o movimento de uma bola lançada para cima, considerando a gravidade e a resistência do ar. O que a gente precisa fazer aqui é usar o resultado que obtivemos no item (b) para calcular o limite da velocidade
quando a massa
da bola se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no item (b) provavelmente resolvemos a equação do movimento da bola levando em conta as forças atuantes: a gravidade e a resistência do ar. A equação geral de movimento pode ser escrita usando a segunda lei de Newton:
Aqui,
é a massa da bola,
é a aceleração da gravidade,
é a constante de resistência do ar, e
é a velocidade no tempo
.
Passo 3
No item (b), resolvemos essa equação diferencial para obter
. Embora não tenhamos a expressão exata aqui, sabemos que ela depende de
. Nosso objetivo agora é ver o que acontece com
quando
se aproxima de zero.
Passo 4
Para encontrar o limite de
quando
, vamos analisar a equa��ão original. Quando
tende a zero, o termo
também tende a zero, porque estamos multiplicando algo finito por
, que está indo para zero.
Então, a equação simplifica para:
Passo 5
Agora, como
está se aproximando de zero, o termo
também vai para zero, já que
está multiplicando
, que é uma constante. Assim, a equação fica:
Ou seja:
Passo 6
Para resolver essa equação, vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
(que é positivo e diferente de zero):
Isso nos mostra que
.
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de zero é
.