Uma bola de massa m é lançada verticalmente para cima a partir da superfície da Terra com uma velocidade inicial positiva v0. Assumimos que as forças agindo na bola sejam a força da gravidade e a força da resistência do ar com sentido oposto ao sentido do movimento e com módulo k * |v|, onde k é uma constante positiva e v(t) é a velocidade no instante t.( Durante a subida, v(t) é positiva e a resistência do ar age para baixo; durante a descida, v(t) é negativa e a resistência do ar age para cima)
d) Use o resultado do item (b) para calcular o limite de v(t) quando m -> 0, isso é , quando a massa se aproxima de zero.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (d) desse exercício de física. A gente está lidando com o movimento de uma bola lançada para cima, considerando a gravidade e a resistência do ar. O que a gente precisa fazer aqui é usar o resultado que obtivemos no item (b) para calcular o limite da velocidade quando a massa da bola se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no item (b) provavelmente resolvemos a equação do movimento da bola levando em conta as forças atuantes: a gravidade e a resistência do ar. A equação geral de movimento pode ser escrita usando a segunda lei de Newton:
Aqui, é a massa da bola, é a aceleração da gravidade, é a constante de resistência do ar, e é a velocidade no tempo .

Passo 3

No item (b), resolvemos essa equação diferencial para obter . Embora não tenhamos a expressão exata aqui, sabemos que ela depende de . Nosso objetivo agora é ver o que acontece com quando se aproxima de zero.

Passo 4

Para encontrar o limite de quando , vamos analisar a equa��ão original. Quando tende a zero, o termo também tende a zero, porque estamos multiplicando algo finito por , que está indo para zero.
Então, a equação simplifica para:

Passo 5

Agora, como está se aproximando de zero, o termo também vai para zero, já que está multiplicando , que é uma constante. Assim, a equação fica:
Ou seja:

Passo 6

Para resolver essa equação, vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por (que é positivo e diferente de zero):
Isso nos mostra que .

Resposta

O limite de quando se aproxima de zero é .

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