a) Considere a curva dada por x^6 + y^6 = 1. Determine y''

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a segunda derivada da curva definida pela equação . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar derivadas quando está definida implicitamente em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando a gente diferencia , precisa multiplicar pela derivada de em relação a , por causa da regra da cadeia.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada:
Aqui, representa a primeira derivada de em relação a .

Passo 4

Vamos isolar para encontrar a primeira derivada:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada . Para isso, vamos diferenciar em relação a :

Passo 6

Aplicamos a regra do quociente para diferenciar :

Passo 7

Vamos calcular cada parte:

Passo 8

Substituindo de volta:

Passo 9

Fatorando o 5 e simplificando:

Passo 10

Agora, já sabemos que . Substituindo isso na equação:

Passo 11

Simplificando:

Passo 12

Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por :

Passo 13

Fatorando 5 no numerador:

Passo 14

Mas, da equação original , podemos substituir . Vamos reescrever como :

Passo 15

Os termos se cancelam:

Resposta

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