a) Considere a curva dada por
. Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a segunda derivada
da curva definida pela equação
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar derivadas quando
está definida implicitamente em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
. Lembre-se que quando a gente diferencia
, precisa multiplicar pela derivada de
em relação a
, por causa da regra da cadeia.
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada:
Aqui,
representa a primeira derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos isolar
para encontrar a primeira derivada:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, vamos diferenciar
em relação a
:
Passo 6
Aplicamos a regra do quociente para diferenciar
:
Passo 7
Vamos calcular cada parte:
Passo 8
Substituindo de volta:
Passo 9
Fatorando o 5 e simplificando:
Passo 10
Agora, já sabemos que
. Substituindo isso na equação:
Passo 11
Simplificando:
Passo 12
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por
:
Passo 13
Fatorando 5 no numerador:
Passo 14
Mas, da equação original
, podemos substituir
. Vamos reescrever
como
:
Passo 15
Os termos
se cancelam: