Se a>0 e alpha in R então lim n^alpha /(1+a)^n=0. (Se k in N e n>2 k entãôo
(1+a)^n>binomnk a^k=n(n-1) cdots(n-k+1)k! a^k>n^k a^k2^k k! )
A moral da estória aqui é que exponenciais de base >1 crescem mais rápido que polinômios. Por exemplo, lim (n^3 / 2^n)=0. Você conseguiria aplicar o resultado deste exercício no Exercício 1.13?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos que mostrar que, para qualquer número real alpha e a > 0, o limite de n^alpha(1+a)^n quando n tende ao infinito é igual a zero. Isso está relacionado ao estudo de limites envolvendo funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, vamos utilizar propriedades de crescimento de funções exponenciais em comparação com funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o crescimento das funções envolvidas. Sabemos que funções exponenciais com base maior que 1 crescem mais rapidamente do que funções polinomiais conforme n aumenta. Ou seja, (1+a)^n cresce muito mais rápido que qualquer potência de n, como n^alpha.

Passo 3

Para demonstrar isso matematicamente, podemos usar a definição de limite. Queremos mostrar que:
limn to infty n^alpha(1+a)^n = 0
Isso significa que, conforme n se torna muito grande, o numerador n^alpha cresce, mas o denominador (1+a)^n cresce de forma exponencialmente mais rápida, fazendo com que a fração todo ti proporcione um valor cada vez menor, tendendo a zero.

Passo 4

Outra maneira de ver isso é considerar a razão entre termos consecutivos:
(n+1)^alpha(1+a)^n+1n^alpha(1+a)^n = (n+1)^alphan^alpha cdot 11+a
Simplificando, temos:
(1 + 1n)^alpha cdot 11+a
Quando n tende ao infinito, (1 + 1n)^alpha tende a 1, então a razão se aproxima de 11+a, que é menor que 1, já que a > 0. Isso indica que a sequência converge a zero.

Passo 5

Além disso, podemos aplicar o Teorema de comparação, que nos diz que se uma sequência é limitada por outra que tende a zero, então a sequência em questão também tende a zero. No nosso caso, já que (1+a)^n cresce mais rapidamente que n^alpha, podemos concluir que o limite é zero.

Resposta

limn to infty n^alpha(1+a)^n = 0

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