Se e então . (Se e entãôo
A moral da estória aqui é que exponenciais de base crescem mais rápido que polinômios. Por exemplo, . Você conseguiria aplicar o resultado deste exercício no Exercício 1.13?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos que mostrar que, para qualquer número real e , o limite de quando tende ao infinito é igual a zero. Isso está relacionado ao estudo de limites envolvendo funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, vamos utilizar propriedades de crescimento de funções exponenciais em comparação com funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o crescimento das funções envolvidas. Sabemos que funções exponenciais com base maior que 1 crescem mais rapidamente do que funções polinomiais conforme aumenta. Ou seja, cresce muito mais rápido que qualquer potência de , como .

Passo 3

Para demonstrar isso matematicamente, podemos usar a definição de limite. Queremos mostrar que:
Isso significa que, conforme se torna muito grande, o numerador cresce, mas o denominador cresce de forma exponencialmente mais rápida, fazendo com que a fração todo ti proporcione um valor cada vez menor, tendendo a zero.

Passo 4

Outra maneira de ver isso é considerar a razão entre termos consecutivos:
Simplificando, temos:
Quando tende ao infinito, tende a 1, então a razão se aproxima de , que é menor que 1, já que . Isso indica que a sequência converge a zero.

Passo 5

Além disso, podemos aplicar o Teorema de comparação, que nos diz que se uma sequência é limitada por outra que tende a zero, então a sequência em questão também tende a zero. No nosso caso, já que cresce mais rapidamente que , podemos concluir que o limite é zero.

Resposta

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Pondo e na identidade
deduza que se então ; conclua daí que para todo .
Conclua que existe .
Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
;
Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
.