Se
e
então
. (Se
e
entãôo
A moral da estória aqui é que exponenciais de base
crescem mais rápido que polinômios. Por exemplo,
. Você conseguiria aplicar o resultado deste exercício no Exercício 1.13?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos que mostrar que, para qualquer número real
e
, o limite de
quando
tende ao infinito é igual a zero. Isso está relacionado ao estudo de limites envolvendo funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, vamos utilizar propriedades de crescimento de funções exponenciais em comparação com funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o crescimento das funções envolvidas. Sabemos que funções exponenciais com base maior que 1 crescem mais rapidamente do que funções polinomiais conforme
aumenta. Ou seja,
cresce muito mais rápido que qualquer potência de
, como
.
Passo 3
Para demonstrar isso matematicamente, podemos usar a definição de limite. Queremos mostrar que:
Isso significa que, conforme
se torna muito grande, o numerador
cresce, mas o denominador
cresce de forma exponencialmente mais rápida, fazendo com que a fração todo ti proporcione um valor cada vez menor, tendendo a zero.
Passo 4
Outra maneira de ver isso é considerar a razão entre termos consecutivos:
Simplificando, temos:
Quando
tende ao infinito,
tende a 1, então a razão se aproxima de
, que é menor que 1, já que
. Isso indica que a sequência converge a zero.
Passo 5
Além disso, podemos aplicar o Teorema de comparação, que nos diz que se uma sequência é limitada por outra que tende a zero, então a sequência em questão também tende a zero. No nosso caso, já que
cresce mais rapidamente que
, podemos concluir que o limite é zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Pondo
e
na identidade
deduza que se
então
; conclua daí que
para todo
.
Conclua que existe
.
Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
;
Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
.