Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
lim n infty sumk=1^n 1n sen^2 k pin=12.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando tende ao infinito da soma . Isso envolve o conceito de somas de Riemann, que ajudam a aproximar integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a soma dada é uma soma de Riemann para a função no intervalo de 0 a 1. A soma aproxima a integral de de 0 a 1 conforme cresce.

Passo 3

Para encontrar o limite, vamos substituir a soma pela integral correspondente:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral . Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso à nossa função:

Passo 5

Substituindo na integral:
integral0^1 1 - cos(2pi x)2 , dx = 12 integral0^1 1 , dx - 12 integral0^1 cos(2pi x) , dx

Passo 6

Calculando cada parte:
12 integral0^1 1 , dx = 12 [x]0^1 = 12(1 - 0) = 12
Já que e .

Resposta

Somando as partes, temos:
12 - 0 = 12
Portanto,

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