Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
tende ao infinito da soma . Isso envolve o conceito de somas de Riemann, que ajudam a aproximar integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a soma dada é uma soma de Riemann para a função no intervalo de 0 a 1. A soma aproxima a integral de
de 0 a 1 conforme
cresce.
Passo 3
Para encontrar o limite, vamos substituir a soma pela integral correspondente:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral . Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso à nossa função:
Passo 5
Substituindo na integral:
Passo 6
Calculando cada parte:
Já que e .
Resposta
Somando as partes, temos:
Portanto,