Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
tende ao infinito da soma . Isso envolve o conceito de somas de Riemann, que ajudam a aproximar integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a soma dada é uma soma de Riemann para a função no intervalo de 0 a 1. A soma aproxima a integral de
de 0 a 1 conforme
cresce.
Passo 3
Para encontrar o limite, vamos substituir a soma pela integral correspondente:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral . Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso à nossa função:
Passo 5
Substituindo na integral:
Passo 6
Calculando cada parte:
Já que e .
Resposta
Somando as partes, temos:
Portanto,
Exercícios relacionados
Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
;
Se
e
então
. (Se
e
entãôo
A moral da estória aqui é que exponenciais de base
crescem mais rápido que polinômios. Por exemplo,
. Você conseguiria aplicar o resultado deste exercício no Exercício 1.13?
Seja
uma sequência de números reais estritamente positivos. Suponha que
e seja
. Mostre que existem
e
tais que
para todo
. Conclua que
. Aplique isto à sequência
deduza novamente o resultado do Exercício 1.18.
Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se então
para algum
e todo
suficientemente grande.
Se