Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando tende ao infinito da soma . Isso envolve o conceito de somas de Riemann, que ajudam a aproximar integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a soma dada é uma soma de Riemann para a função no intervalo de 0 a 1. A soma aproxima a integral de de 0 a 1 conforme cresce.

Passo 3

Para encontrar o limite, vamos substituir a soma pela integral correspondente:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral . Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso à nossa função:

Passo 5

Substituindo na integral:

Passo 6

Calculando cada parte:
Já que e .

Resposta

Somando as partes, temos:
Portanto,

Exercícios relacionados

Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
;
Se e então . (Se e entãôo
A moral da estória aqui é que exponenciais de base crescem mais rápido que polinômios. Por exemplo, . Você conseguiria aplicar o resultado deste exercício no Exercício 1.13?
Seja uma sequência de números reais estritamente positivos. Suponha que e seja . Mostre que existem e tais que para todo . Conclua que . Aplique isto à sequência deduza novamente o resultado do Exercício 1.18.
Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se então para algum e todo suficientemente grande.