Pondo y=x^1 / k e b=a^1 / k na identidade
y^k-b^k=(y-b)(y^k-1+y^k-2 b+cdots+y b^k-2+b^k-1)
deduza que se lim xn=a>0 então lim xn^1 / k=a^1 / k; conclua daí que lim xn^r=a^r para todo r in Q.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos pede para trabalhar com limites de sequências, especificamente lidando com potências e raízes. Precisamos usar uma identidade algébrica para mostrar que, se uma sequência converge para , então sua raiz -ésima também converge para . E, a partir disso, concluir que o limite de é para qualquer racional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a identidade que foi dada:
y^k - b^k = (y - b)(y^k-1 + y^k-2b + cdots + yb^k-2 + b^k-1)
Aqui, substituímos e . Essa identidade é uma fatoração da diferença de potências, que ajuda a simplificar expressões envolvendo diferenças de termos elevados à potência .

Passo 3

Sabemos que xn - a = (xn^1/k - a^1/k)( xn^(k-1)/k + xn^(k-2)/k a^1/k + cdots + xn^1/k a^(k-2)/k + a^(k-1)/k ) . Queremos encontrar .
Substituindo e na identidade, temos:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para isolar xn^1/k - a^1/k = xn - axn^(k-1)/k + xn^(k-2)/k a^1/k + cdots + xn^1/k a^(k-2)/k + a^(k-1)/k :

Passo 5

Agora, aplicamos o limite em ambos os lados da equação. Sabemos que lim (xn^1/k - a^1/k) = lim (xn - a)lim ( xn^(k-1)/k + cdots + a^(k-1)/k ) , então substituímos por nos termos:
Como , temos e para qualquer inteiro .

Passo 6

Substituindo os limites, a expressão fica:
Portanto:
lim xn^1/k - a^1/k = 0k cdot a^(k-1)/k = 0

Passo 7

Agora que mostramos que xn^r = (xn^1/k)^m , podemos generalizar para qualquer potência racional lim xn^r = ( lim xn^1/k )^m = (a^1/k)^m = a^m/k = a^r , onde e são inteiros.
Sabemos que:
Aplicando o limite:

Resposta

Portanto, temos que para todo .

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