Pondo
e
na identidade
deduza que se
então
; conclua daí que
para todo
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício nos pede para trabalhar com limites de sequências, especificamente lidando com potências e raízes. Precisamos usar uma identidade algébrica para mostrar que, se uma sequência
converge para
, então sua raiz
-ésima também converge para
. E, a partir disso, concluir que o limite de
é
para qualquer
racional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a identidade que foi dada:
Aqui, substituímos
e
. Essa identidade é uma fatoração da diferença de potências, que ajuda a simplificar expressões envolvendo diferenças de termos elevados à potência
.
Passo 3
Sabemos que
. Queremos encontrar
.
Substituindo
e
na identidade, temos:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Passo 5
Agora, aplicamos o limite em ambos os lados da equação. Sabemos que
, então substituímos
por
nos termos:
Como
, temos
e
para qualquer inteiro
.
Passo 6
Substituindo os limites, a expressão fica:
Portanto:
Passo 7
Agora que mostramos que
, podemos generalizar para qualquer potência racional
, onde
e
são inteiros.
Sabemos que:
Aplicando o limite:
Resposta
Portanto, temos que
para todo
.
Exercícios relacionados
Conclua que existe
.
Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se converge e
para todo
suficientemente grande então
.
Se
Se
e
então
. (Se
e
entãôo
A moral da estória aqui é que exponenciais de base
crescem mais rápido que polinômios. Por exemplo,
. Você conseguiria aplicar o resultado deste exercício no Exercício 1.13?
Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
;