Pondo e na identidade
deduza que se então ; conclua daí que para todo .

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos pede para trabalhar com limites de sequências, especificamente lidando com potências e raízes. Precisamos usar uma identidade algébrica para mostrar que, se uma sequência converge para , então sua raiz -ésima também converge para . E, a partir disso, concluir que o limite de é para qualquer racional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a identidade que foi dada:
Aqui, substituímos e . Essa identidade é uma fatoração da diferença de potências, que ajuda a simplificar expressões envolvendo diferenças de termos elevados à potência .

Passo 3

Sabemos que . Queremos encontrar .
Substituindo e na identidade, temos:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para isolar :

Passo 5

Agora, aplicamos o limite em ambos os lados da equação. Sabemos que , então substituímos por nos termos:
Como , temos e para qualquer inteiro .

Passo 6

Substituindo os limites, a expressão fica:
Portanto:

Passo 7

Agora que mostramos que , podemos generalizar para qualquer potência racional , onde e são inteiros.
Sabemos que:
Aplicando o limite:

Resposta

Portanto, temos que para todo .

Exercícios relacionados

Conclua que existe .
Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se converge e para todo suficientemente grande então .
Se e então . (Se e entãôo
A moral da estória aqui é que exponenciais de base crescem mais rápido que polinômios. Por exemplo, . Você conseguiria aplicar o resultado deste exercício no Exercício 1.13?
Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
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