Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite que envolve uma soma:
A matéria aqui é cálculo, especificamente limites e somas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar uma soma em uma integral usando o conceito de soma de Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Observe que podemos dividir o numerador e o denominador por :
Agora, a soma fica:

Passo 3

Essa forma se parece muito com uma soma de Riemann, que é uma maneira de aproximar integrais. Lembrando, uma soma de Riemann tem a forma:
Comparando com a nossa soma, identificamos que:

Passo 4

Então, a soma original pode ser vista como uma aproximação para a integral de de 0 a 1:
A integral é uma integral padrão que conhecemos.

Passo 5

Calculando a integral:
Portanto, o limite da soma se iguala a .

Resposta

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Pondo e na identidade
deduza que se então ; conclua daí que para todo .
Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
.
Seja uma sequência de números reais estritamente positivos. Suponha que e seja . Mostre que existem e tais que para todo . Conclua que . Aplique isto à sequência deduza novamente o resultado do Exercício 1.18.