Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
lim n infty sumk=1^n nn^2+k^2=pi4;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite que envolve uma soma:
lim n infty sumk=1^n nn^2+k^2=pi4
A matéria aqui é cálculo, especificamente limites e somas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar uma soma em uma integral usando o conceito de soma de Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Observe que podemos dividir o numerador e o denominador por nn^2 + k^2 = nn^21 + (kn)^2 = 1n (1 + (kn)^2) :
sumk=1^n 1n (1 + (kn)^2)
Agora, a soma fica:

Passo 3

Essa forma se parece muito com uma soma de Riemann, que é uma maneira de aproximar integrais. Lembrando, uma soma de Riemann tem a forma:
sumk=1^n f(kn) cdot 1n
Comparando com a nossa soma, identificamos que:
f(kn) = 11 + (kn)^2

Passo 4

Então, a soma original pode ser vista como uma aproximação para a integral de limn to infty sumk=1^n 1n (1 + (kn)^2) = integral0^1 11 + x^2 , dx de 0 a 1:
A integral é uma integral padrão que conhecemos.

Passo 5

Calculando a integral:
integral0^1 11 + x^2 , dx = arctan(x) |0^1 = arctan(1) - arctan(0) = pi4 - 0 = pi4
Portanto, o limite da soma se iguala a .

Resposta

lim n infty sumk=1^n nn^2+k^2 = pi4

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