Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um limite que envolve uma soma:
A matéria aqui é cálculo, especificamente limites e somas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar uma soma em uma integral usando o conceito de soma de Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Observe que podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Agora, a soma fica:
Passo 3
Essa forma se parece muito com uma soma de Riemann, que é uma maneira de aproximar integrais. Lembrando, uma soma de Riemann tem a forma:
Comparando com a nossa soma, identificamos que:
Passo 4
Então, a soma original pode ser vista como uma aproximação para a integral de
de 0 a 1:
A integral
é uma integral padrão que conhecemos.
Passo 5
Calculando a integral:
Portanto, o limite da soma se iguala a
.
Resposta
Exercícios relacionados
Se
e
então
. (Se
e
entãôo
A moral da estória aqui é que exponenciais de base
crescem mais rápido que polinômios. Por exemplo,
. Você conseguiria aplicar o resultado deste exercício no Exercício 1.13?
Pondo
e
na identidade
deduza que se
então
; conclua daí que
para todo
.
Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
.
Seja
uma sequência de números reais estritamente positivos. Suponha que
e seja
. Mostre que existem
e
tais que
para todo
. Conclua que
. Aplique isto à sequência
deduza novamente o resultado do Exercício 1.18.