Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um limite que envolve uma soma:
A matéria aqui é cálculo, especificamente limites e somas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar uma soma em uma integral usando o conceito de soma de Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Observe que podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Agora, a soma fica:
Passo 3
Essa forma se parece muito com uma soma de Riemann, que é uma maneira de aproximar integrais. Lembrando, uma soma de Riemann tem a forma:
Comparando com a nossa soma, identificamos que:
Passo 4
Então, a soma original pode ser vista como uma aproximação para a integral de
de 0 a 1:
A integral
é uma integral padrão que conhecemos.
Passo 5
Calculando a integral:
Portanto, o limite da soma se iguala a
.