a. Se a > 0 e c > 0, mas b = 0, mostre que o resultado do Problema 28 não continua válido, mas que todas as soluções permanecem limitadas quando t -> infinito.
b. Se a > 0 e b > 0, mas c=0, mostre que o resultado do Problema 28 não continua válido, mas que todas as soluções tendem a uma constante, que depende da condição inicial, quando t -> infinito. Determine essa constante para as condições iniciais y(0) = y0, y' (0) = y'0.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que foi pedido aqui! Temos duas partes no exercício:
a. Com , , e , precisamos mostrar que o resultado do Problema 28 não é mais válido, mas que todas as soluções ficam limitadas quando t tende ao infinito.
b. Com , , e , temos que mostrar que o resultado do Problema 28 também não é válido, porém todas as soluções se aproximam de uma constante que depende das condições iniciais quando t -> infinito. Além disso, devemos determinar essa constante para e .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de equações diferenciais de segunda ordem e como os coeficientes influenciam o comportamento das soluções ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação diferencial de segunda ordem linear homogênea, que geralmente tem a forma:
Aqui, a, b, e c são constantes, e e são as derivadas segunda e primeira de y em relação a t.
O comportamento das soluções dessa equação depende dos coeficientes a, b, e c. Normalmente, resolvemos essa equação encontrando as raízes da equação característica:
As raízes dessa equação determinam a forma das soluções. Dependendo do discriminante , temos diferentes tipos de soluções:
  • : duas raízes reais e distintas.
  • : duas raízes reais e iguais.
  • : raízes complexas conjugadas.
Mas no nosso caso, vamos ter situações específicas com alguns coeficientes zero, então precisamos analisar cada parte separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a parte a: , , e .
Substituindo esses valores na equação diferencial, temos:
A equação característica fica:
Como e , temos , o que implica que as raízes são imaginárias puras:
Isso significa que as soluções gerais são funções oscilatórias:
Essas funções oscilam indefinidamente com uma amplitude constante, o que indica que as soluções estão limitadas para todo t, mesmo quando t -> infinito.
No Problema 28, provavelmente assumimos b != 0 para ter algum tipo de amortecimento ou crescimento, mas aqui com , não há termo de amortecimento, então o resultado original (provavelmente sobre decaimento ou crescimento das soluções) não é mais válido. Contudo, como mostramos, as soluções permanecem limitadas.

Passo 4

Agora, vamos para a parte b: , , e .
Substituindo na equação diferencial:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por a:
A equação característica é:
Isso nos dá duas raízes reais e iguais:
Portanto, as soluções gerais são:
Aqui, e são constantes determinadas pelas condições iniciais.
À medida que t -> infinito, o termo tende a zero, então:
Isso significa que todas as soluções tendem a uma constante quando t vai para o infinito, e essa constante depende das condições iniciais.

Passo 5

Vamos determinar essa constante usando as condições iniciais e .
Primeiro, aplicamos na solução geral:
Agora, derivamos a solução geral para encontrar :
Aplicamos :
Agora, substituímos na equação :
Portanto, a constante para a qual as soluções tendem quando t -> infinito é:

Resposta

a. Com , , e , o resultado do Problema 28 não é válido, mas todas as soluções permanecem limitadas quando t -> infinito.
b. Com , , e , o resultado do Problema 28 não é válido, porém todas as soluções tendem à constante quando t -> infinito.

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