a. Se
e
, mas
, mostre que o resultado do Problema 28 não continua válido, mas que todas as soluções permanecem limitadas quando
.
b. Se
e
, mas
, mostre que o resultado do Problema 28 não continua válido, mas que todas as soluções tendem a uma constante, que depende da condição inicial, quando
. Determine essa constante para as condições iniciais
.
b. Se
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que foi pedido aqui! Temos duas partes no exercício:
a. Com
,
, e
, precisamos mostrar que o resultado do Problema 28 não é mais válido, mas que todas as soluções ficam limitadas quando
tende ao infinito.
b. Com
,
, e
, temos que mostrar que o resultado do Problema 28 também não é válido, porém todas as soluções se aproximam de uma constante que depende das condições iniciais quando
. Além disso, devemos determinar essa constante para
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de equações diferenciais de segunda ordem e como os coeficientes influenciam o comportamento das soluções ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação diferencial de segunda ordem linear homogênea, que geralmente tem a forma:
Aqui,
,
, e
são constantes, e
e
são as derivadas segunda e primeira de
em relação a
.
O comportamento das soluções dessa equação depende dos coeficientes
,
, e
. Normalmente, resolvemos essa equação encontrando as raízes da equação característica:
As raízes dessa equação determinam a forma das soluções. Dependendo do discriminante
, temos diferentes tipos de soluções:
-
: duas raízes reais e distintas. -
: duas raízes reais e iguais. -
: raízes complexas conjugadas.
Mas no nosso caso, vamos ter situações específicas com alguns coeficientes zero, então precisamos analisar cada parte separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a parte a:
,
, e
.
Substituindo esses valores na equação diferencial, temos:
A equação característica fica:
Como
e
, temos
, o que implica que as raízes são imaginárias puras:
Isso significa que as soluções gerais são funções oscilatórias:
Essas funções oscilam indefinidamente com uma amplitude constante, o que indica que as soluções estão limitadas para todo
, mesmo quando
.
No Problema 28, provavelmente assumimos
para ter algum tipo de amortecimento ou crescimento, mas aqui com
, não há termo de amortecimento, então o resultado original (provavelmente sobre decaimento ou crescimento das soluções) não é mais válido. Contudo, como mostramos, as soluções permanecem limitadas.
Passo 4
Agora, vamos para a parte b:
,
, e
.
Substituindo na equação diferencial:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por
:
A equação característica é:
Isso nos dá duas raízes reais e iguais:
Portanto, as soluções gerais são:
Aqui,
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
À medida que
, o termo
tende a zero, então:
Isso significa que todas as soluções tendem a uma constante
quando
vai para o infinito, e essa constante depende das condições iniciais.
Passo 5
Vamos determinar essa constante
usando as condições iniciais
e
.
Primeiro, aplicamos
na solução geral:
Agora, derivamos a solução geral para encontrar
:
Aplicamos
:
Agora, substituímos
na equação
:
Portanto, a constante para a qual as soluções tendem quando
é:
Resposta
a. Com
,
, e
, o resultado do Problema 28 não é válido, mas todas as soluções permanecem limitadas quando
.
b. Com
,
, e
, o resultado do Problema 28 não é válido, porém todas as soluções tendem à constante
quando
.