Qual a solução do Problema de Valor Inicial (PVI):
(a)
válida no intervalo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI), que é basicamente uma equação diferencial acompanhada de uma condição que especifica o valor da solução em um ponto específico. Aqui, a equação diferencial é:
E a condição inicial é:
Para resolver esse PVI, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias. Especificamente, vamos tratar essa equação como uma equação diferencial de Bernoulli, que é uma equação que pode ser escrita na forma:
Onde
e
são funções de
, e
é um número real.
Passo 2
Vamos reescrever a equação dada para se parecer com a forma padrão da equação de Bernoulli. Para isso, dividimos todos os termos por
(supondo
):
Agora, nossa equação está na forma:
Com:
Passo 3
A equação de Bernoulli pode ser resolvida fazendo uma substituição que transforma a equação não linear em uma equação linear. A substituição que usamos é:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Vamos reorganizar isso para expressar
:
Passo 4
Substituímos
na equação original:
Agora, dividimos toda a equação por
(já que
):
Lembrando que
, substituímos:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação por
para simplificar:
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma padrão:
Onde:
Passo 6
Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar um fator integrante, que é dado por:
Como estamos trabalhando com
(devido à condição
), podemos simplificar para:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação diferencial pela
:
Simplificando os termos:
Agora, o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Passo 8
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvemos para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 10
Resolvemos para
:
Passo 11
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 12
Substituímos
na expressão de
:
Resposta
A solução do Problema de Valor Inicial é:
válida no intervalo
.