Qual a solução do Problema de Valor Inicial (PVI):
{ xy' + y = x^5 y^3, y(1) = 1 }
(a) y(x) = raiz(3 / (-2 x^5 + 5 x^2)) válida no intervalo I = (-infinito, raiz_cubica(5/2)) - {0}

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI), que é basicamente uma equação diferencial acompanhada de uma condição que especifica o valor da solução em um ponto específico. Aqui, a equação diferencial é:
E a condição inicial é:
Para resolver esse PVI, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias. Especificamente, vamos tratar essa equação como uma equação diferencial de Bernoulli, que é uma equação que pode ser escrita na forma:
Onde e são funções de , e é um número real.

Passo 2

Vamos reescrever a equação dada para se parecer com a forma padrão da equação de Bernoulli. Para isso, dividimos todos os termos por (supondo ):
Agora, nossa equação está na forma:
Com:

Passo 3

A equação de Bernoulli pode ser resolvida fazendo uma substituição que transforma a equação não linear em uma equação linear. A substituição que usamos é:
Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Vamos reorganizar isso para expressar :

Passo 4

Substituímos na equação original:
Agora, dividimos toda a equação por (já que ):
Lembrando que , substituímos:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação por para simplificar:
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma padrão:
Onde:

Passo 6

Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar um fator integrante, que é dado por:
Como estamos trabalhando com (devido à condição ), podemos simplificar para:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação diferencial pela :
Simplificando os termos:
Agora, o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :

Passo 8

Integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvemos para :
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 10

Resolvemos para :

Passo 11

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 12

Substituímos na expressão de :

Resposta

A solução do Problema de Valor Inicial é:
válida no intervalo .

Exercícios relacionados