Informe, com razões, se os seguintes sinais são periódicos ou não. Para os sinais periódicos, determine o período e informe quais harmônicas estão presentes na série. 2 sen(3 t) + 7 cos(pi t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente verificar se o sinal é periódico. Se for, precisamos encontrar o período e identificar quais harmônicas estão presentes na série. Para isso, vamos usar conceitos de sinais periódicos e harmônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um sinal é periódico se conseguir repetir ao longo do tempo com um certo período . No caso, estamos lidando com a soma de duas funções trigonométricas: e .

Passo 3

Para determinar se a soma é periódica, precisamos encontrar o período de cada função individualmente e ver se há um período comum entre elas. A função tem um período dado por:
Onde é a frequência angular.

Passo 4

Já a função tem um período de:
Aqui, é a frequência angular.

Passo 5

Agora, para que a soma seja periódica, deve existir um múltiplo comum entre e . Vamos encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) entre e .
Podemos calcular o MMC assim:
No entanto, vamos verificar se esse é realmente o menor período comum.

Passo 6

Vamos multiplicar e por inteiros até encontrar o menor período comum:
Resolvendo para e inteiros, vemos que não há valores inteiros que satisfaçam essa igualdade, o que significa que não existe um período comum para as duas funções.

Passo 7

Como não encontramos um período comum, concluímos que a soma não é periódica.

Resposta

O sinal não é periódico.

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