Informe, com razões, se os seguintes sinais são periódicos ou não. Para os sinais periódicos, determine o período e informe quais harmônicas estão presentes na série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente verificar se o sinal é periódico. Se for, precisamos encontrar o período e identificar quais harmônicas estão presentes na série. Para isso, vamos usar conceitos de sinais periódicos e harmônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um sinal é periódico se conseguir repetir ao longo do tempo com um certo período
. No caso, estamos lidando com a soma de duas funções trigonométricas: e
.
Passo 3
Para determinar se a soma é periódica, precisamos encontrar o período de cada função individualmente e ver se há um período comum entre elas. A função tem um período
dado por:
Onde
é a frequência angular.
Passo 4
Já a função
tem um período
de:
Aqui,
é a frequência angular.
Passo 5
Agora, para que a soma seja periódica, deve existir um múltiplo comum entre
e
. Vamos encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) entre
e
.
Podemos calcular o MMC assim:
No entanto, vamos verificar se esse é realmente o menor período comum.
Passo 6
Vamos multiplicar
e
por inteiros até encontrar o menor período comum:
Resolvendo para
e
inteiros, vemos que não há valores inteiros que satisfaçam essa igualdade, o que significa que não existe um período comum para as duas funções.
Passo 7
Como não encontramos um período comum, concluímos que a soma não é periódica.
Resposta
O sinal não é periódico.