Encontre as assíntotas horizontais e verticais da curva
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma função que é uma fração:
. A missão é encontrar as assíntotas horizontais e verticais dessa curva. Para isso, vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificá-las em funções racionais e com raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar a assíntota vertical. Essas ocorrem onde o denominador da fração é igual a zero, porque aí a função não está definida e a curva tende para infinito. Então, vamos resolver a equação do denominador:
Resolvendo:
Então, temos uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Essa acontece quando o valor de
se aproxima de um número fixo à medida que
vai para mais ou menos infinito. Para funções racionais, com grau do numerador igual ao do denominador, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes. Mas aqui temos uma raiz quadrada, então precisamos analisar o comportamento de
para
grande.
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da raiz para grandes valores de
:
Como
tende para infinito positivo ou negativo,
é aproximadamente
ou
, respectivamente.
Então, a função fica:
Para
tendendo ao infinito positivo (
):
Para
tendendo ao infinito negativo (
):
Isso indica que a função tem duas assíntotas horizontais:
Resposta
As assíntotas verticais ocorrem em
e as assíntotas horizontais são
e
.