Encontre as assíntotas horizontais e verticais da curva
f(x) = raiz(3 x^2 + 1) / (2 x - 7)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função que é uma fração: . A missão é encontrar as assíntotas horizontais e verticais dessa curva. Para isso, vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificá-las em funções racionais e com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar a assíntota vertical. Essas ocorrem onde o denominador da fração é igual a zero, porque aí a função não está definida e a curva tende para infinito. Então, vamos resolver a equação do denominador:
Resolvendo:
Então, temos uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Essa acontece quando o valor de se aproxima de um número fixo à medida que vai para mais ou menos infinito. Para funções racionais, com grau do numerador igual ao do denominador, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes. Mas aqui temos uma raiz quadrada, então precisamos analisar o comportamento de para grande.
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da raiz para grandes valores de :
Como tende para infinito positivo ou negativo, é aproximadamente ou , respectivamente.
Então, a função fica:
Para tendendo ao infinito positivo ( ):
Para tendendo ao infinito negativo ( ):
Isso indica que a função tem duas assíntotas horizontais:

Resposta

As assíntotas verticais ocorrem em e as assíntotas horizontais são e .

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