Informe, com razões, se os seguintes sinais são periódicos ou não. Para os sinais periódicos, determine o período e informe quais harmônicas estão presentes na série. 3 * cos(raiz(2) * t) + 5 * cos(2 * t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se o sinal é periódico ou não. Se for periódico, também precisamos encontrar o período e quais harmônicas estão presentes na série. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são sinais periódicos, como identificar o período de um sinal, e verificar as relações entre as frequências dos componentes do sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um sinal periódico. Um sinal é considerado periódico se ele se repete exatamente após um certo intervalo de tempo, chamado de período . Matemáticamente, isso significa que para todo :
No caso, nosso sinal é a soma de duas funções cosseno com frequências diferentes.

Passo 3

Vamos analisar as duas partes do sinal separadamente:
O primeiro cosseno tem uma frequência angular de , e o segundo tem uma frequência angular de .

Passo 4

Para que a soma de dois sinais periódicos seja também periódica, os períodos dos sinais individuais devem ser múltiplos inteiros uns dos outros. Isso significa que as frequências devem estar em uma razão racional.
Vamos verificar a relação entre as frequências:
Aqui, é um número irracional, e é racional. Portanto, a razão é irracional.

Passo 5

Como a relação entre as frequências é irracional, não existe um período comum que satisfaça a condição para todo . Em outras palavras, o sinal não se repete em intervalos regulares de tempo.

Resposta

O sinal não é periódico.

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