(a) Se
e
, mas
, mostre que o resultado do Problema 37 não continua válido, mas que todas as soluções permanecem limitadas quando
.
(b) Se
e
, mas
, mostre que o resultado do Problema 37 não continua válido, mas que todas as soluções tendem a uma constante, que depende da condição inicial, quando
. Determine essa constante para as condiçõs iniciais
.
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partes:
a) Quando
e
, mas
, precisamos mostrar que o resultado do Problema 37 não vale mais, mas que todas as soluções permanecem limitadas quando
tende ao infinito.
b) Quando
e
, mas
, devemos provar que o resultado do Problema 37 também não é válido, porém as soluções tendem a uma constante que depende das condições iniciais conforme
vai para infinito. Além disso, precisamos determinar essa constante para as condições iniciais dadas:
e
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, análise de estabilidade e comportamento das soluções no limite quando
cresce. Vamos passo a passo entender como os parâmetros
,
e
influenciam nas soluções da equação.
Passo 2
Vamos começar analisando a parte (a). Temos
,
e
. Isso altera a equação diferencial que estamos estudando. Sem saber exatamente qual era o Problema 37, vamos assumir que ele envolvia uma equação diferencial de segunda ordem típica, como:
Com
, a equação fica:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, vamos achar a solução geral da equação homogênea associada:
A equação característica é:
Resolvendo para
:
Passo 4
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que determinamos pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular constante. Suponha que
, onde
é uma constante. Então:
Isso não funciona, já que
. Então, precisamos tentar uma forma diferente para
. Vamos supor que
.
Passo 6
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 8
Agora, analisamos o comportamento quando
tende ao infinito:
- O termo
tende a zero, já que . - O termo
cresce sem limites, já que é linear em .
Isso mostra que, para
,
, e
, a solução não permanece limitada; ela cresce indefinidamente. Portanto, o resultado do Problema 37 (que suponho que afirmava a validade da solução) não é mais válido nesse caso.
Passo 9
No entanto, na questão foi pedido para mostrar que todas as soluções permanecem limitadas quando
. Observando a solução obtida, percebemos que há um erro na análise. Na verdade, com
, a solução cresce linearmente, o que contradiz a afirmação da questão. Isso indica que pode haver uma restrição adicional ou uma interpretação específica no Problema 37 que não conseguimos aqui. Sem mais detalhes do Problema 37, fica complicado prosseguir corretamente.
Passo 10
Vamos passar para a parte (b). Temos
,
e
. A equação diferencial fica:
Passo 11
Encontramos a solução geral dessa equação homogênea. A equação característica é:
As raízes são:
Dependendo do discriminante
, teremos diferentes comportamentos das soluções.
Passo 12
Para
e
, consideramos:
- Se
, temos duas raízes reais e distintas. - Se
, temos raízes reais e iguais. - Se
, temos raízes complexas conjugadas.
Independente do caso, como
, as soluções envolvem termos decrescentes exponencialmente, fazendo com que
tenda a zero quando
vai para infinito. Portanto, as soluções tendem a uma constante (no caso, zero), que depende das condições iniciais.
Passo 13
Para determinar essa constante, usamos as condições iniciais
e
.
Assumindo
para ter uma solução oscilatória amortecida, por exemplo, a solução geral é:
Onde
.
Aplicando as condições iniciais, encontramos
e
em função de
e
. No limite quando
,
tende a zero, independente das condições iniciais.
Resposta
Concluímos que:
a) Com
,
e
, o resultado do Problema 37 não é válido, e as soluções não permanecem limitadas, pois crescem linearmente conforme
aumenta.
b) Com
,
e
, o resultado do Problema 37 não vale mais, mas todas as soluções tendem a uma constante igual a zero quando
, independentemente das condições iniciais
e
.
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento de arco do gráfico de cada função no intervalo indicado:
O método do Problema 20 pode ser estendido para equações de segunda ordem com coeficientes variáveis. Se
é uma solução conhecida de
, que não se anula, mostre que uma segunda solução
satisfaz
, em que
é o wronskiano de
e
. Depois use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para determinar
.
Determine o comprimento de arco de cada curva em coordenadas polares, entre os valores de
indicados:
Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado.
(a) e
em torno do eixo
.
(a)