Determine o comprimento de arco de cada curva em coordenadas polares, entre os valores de
indicados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva dada em coordenadas polares:
, para
variando de
a
. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui,
é a função que define a curva, e
e
são os valores iniciais e finais de
, respectivamente.
Passo 3
No nosso caso,
, e queremos calcular o comprimento do arco de
até
. Vamos começar calculando a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Isso porque
, uma identidade trigonométrica básica.
Passo 6
Agora, a integral fica mais simples:
Passo 7
Calculamos a integral:
Resposta
O comprimento do arco da curva
de
a
é
unidades de comprimento.
Exercícios relacionados
(a) Se
e
, mas
, mostre que o resultado do Problema 37 não continua válido, mas que todas as soluções permanecem limitadas quando
.
(b) Se e
, mas
, mostre que o resultado do Problema 37 não continua válido, mas que todas as soluções tendem a uma constante, que depende da condição inicial, quando
. Determine essa constante para as condiçõs iniciais
.
(b) Se
Calcule o comprimento de arco do gráfico de cada função no intervalo indicado:
Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado.
(a) e
em torno do eixo
.
(a)
Encontre
e
.