Determine o comprimento de arco de cada curva em coordenadas polares, entre os valores de indicados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva dada em coordenadas polares: , para variando de a . Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui, é a função que define a curva, e e são os valores iniciais e finais de , respectivamente.

Passo 3

No nosso caso, , e queremos calcular o comprimento do arco de até . Vamos começar calculando a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula do comprimento de arco:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Isso porque , uma identidade trigonométrica básica.

Passo 6

Agora, a integral fica mais simples:

Passo 7

Calculamos a integral:

Resposta

O comprimento do arco da curva de a é unidades de comprimento.

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(a) Se e , mas , mostre que o resultado do Problema 37 não continua válido, mas que todas as soluções permanecem limitadas quando .
(b) Se e , mas , mostre que o resultado do Problema 37 não continua válido, mas que todas as soluções tendem a uma constante, que depende da condição inicial, quando . Determine essa constante para as condiçõs iniciais .
Calcule o comprimento de arco do gráfico de cada função no intervalo indicado:
Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado.
(a) e em torno do eixo .
Encontre e .