Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado.
(a)
e
em torno do eixo
.
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o volume do sólido que é gerado quando a região limitada pelas curvas
,
e
é girada em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos utilizar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que nos permite calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Vamos começar identificando os limites de integração. A região está limitada entre
(onde
) e
.
Passo 3
O método dos discos envolve integrar a área da seção transversal do sólido perpendicular ao eixo de rotação. A fórmula geral para o volume
é:
onde
é a função que define o raio do disco em cada ponto
.
Passo 4
Neste caso, o raio dos discos é dado pela função
. Portanto,
.
Passo 5
Substituindo na fórmula do volume:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão sob o sinal de integral:
Então, o integral fica:
Passo 7
Calculando a integral:
A integral de
em relação a
é
. Aplicando isso:
Passo 8
Agora, avaliamos a integral de 0 a 8:
Passo 9
Calculando
:
Primeiro,
(porque
), então
.
Resposta
Exercícios relacionados
Determine o comprimento de arco de cada curva em coordenadas polares, entre os valores de
indicados:
(a) Se
e
, mas
, mostre que o resultado do Problema 37 não continua válido, mas que todas as soluções permanecem limitadas quando
.
(b) Se e
, mas
, mostre que o resultado do Problema 37 não continua válido, mas que todas as soluções tendem a uma constante, que depende da condição inicial, quando
. Determine essa constante para as condiçõs iniciais
.
(b) Se
Encontre
e
.
Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
e
em torno da reta
.