Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado.
(a) e em torno do eixo .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o volume do sólido que é gerado quando a região limitada pelas curvas , e é girada em torno do eixo . Para resolver isso, vamos utilizar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que nos permite calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Vamos começar identificando os limites de integração. A região está limitada entre (onde ) e .

Passo 3

O método dos discos envolve integrar a área da seção transversal do sólido perpendicular ao eixo de rotação. A fórmula geral para o volume é:
onde é a função que define o raio do disco em cada ponto .

Passo 4

Neste caso, o raio dos discos é dado pela função . Portanto, .

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão sob o sinal de integral:
Então, o integral fica:

Passo 7

Calculando a integral:
A integral de em relação a é . Aplicando isso:

Passo 8

Agora, avaliamos a integral de 0 a 8:

Passo 9

Calculando :
Primeiro, (porque ), então .

Resposta

Exercícios relacionados

Determine o comprimento de arco de cada curva em coordenadas polares, entre os valores de indicados:
(a) Se e , mas , mostre que o resultado do Problema 37 não continua válido, mas que todas as soluções permanecem limitadas quando .
(b) Se e , mas , mostre que o resultado do Problema 37 não continua válido, mas que todas as soluções tendem a uma constante, que depende da condição inicial, quando . Determine essa constante para as condiçõs iniciais .
Encontre e .
Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado: e em torno da reta .