O método do Problema 20 pode ser estendido para equações de segunda ordem com coeficientes variáveis. Se
é uma solução conhecida de
, que não se anula, mostre que uma segunda solução
satisfaz
, em que
é o wronskiano de
e
. Depois use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para determinar
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com equações diferenciais de segunda ordem que têm coeficientes que variam. A ideia é que já conhecemos uma solução
dessa equação, e precisamos encontrar uma segunda solução
. Para isso, vamos usar o Wronskiano e a fórmula de Abel. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a gente precisa mostrar. Queremos provar que a derivada de
é igual ao Wronskiano
dividido por
. Ou seja:
Passo 3
Antes de mais nada, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções
e
, o Wronskiano é definido como:
Ele ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
usando a regra do quociente:
Observa que o numerador aqui é exatamente o Wronskiano
. Então, substituindo:
E assim mostramos o que foi pedido!
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula de Abel para determinar
. A fórmula de Abel nos dá uma expressão para o Wronskiano quando conhecemos uma solução. A equação de Abel é:
onde
é uma constante.
Passo 6
Como já temos uma expressão para
, podemos integrar ambos os lados para encontrar
:
Substituindo o Wronskiano pela expressão da fórmula de Abel:
Passo 7
Finalmente, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Podemos absorver a constante
na integral, então a expressão simplificada para a segunda solução é:
Resposta
A segunda solução é dada por