O método do Problema 20 pode ser estendido para equações de segunda ordem com coeficientes variáveis. Se y1 é uma solução conhecida de y'' + p(x) y' + q(x) y = 0, que não se anula, mostre que uma segunda solução y2 satisfaz (y2 / y1)' = W(y1, y2) / y1^2, em que W(y1, y2) é o wronskiano de y1 e y2. Depois use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para determinar y2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com equações diferenciais de segunda ordem que têm coeficientes que variam. A ideia é que já conhecemos uma solução dessa equação, e precisamos encontrar uma segunda solução . Para isso, vamos usar o Wronskiano e a fórmula de Abel. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a gente precisa mostrar. Queremos provar que a derivada de é igual ao Wronskiano dividido por . Ou seja:

Passo 3

Antes de mais nada, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é definido como:
Ele ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de usando a regra do quociente:
Observa que o numerador aqui é exatamente o Wronskiano . Então, substituindo:
E assim mostramos o que foi pedido!

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula de Abel para determinar . A fórmula de Abel nos dá uma expressão para o Wronskiano quando conhecemos uma solução. A equação de Abel é:
onde é uma constante.

Passo 6

Como já temos uma expressão para , podemos integrar ambos os lados para encontrar :
Substituindo o Wronskiano pela expressão da fórmula de Abel:

Passo 7

Finalmente, isolamos multiplicando ambos os lados por :
Podemos absorver a constante na integral, então a expressão simplificada para a segunda solução é:

Resposta

A segunda solução é dada por

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