Calcule o comprimento de arco do gráfico de cada função no intervalo indicado: f(x) = 1/8 [x^4 + (2 / x^2)], 1 <= x <= 2

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício pedindo para calcular o comprimento de arco do gráfico da função no intervalo de de 1 a 2. Vamos usar a matéria de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco, e precisamos saber como derivar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função entre e :
Essa fórmula basicamente soma infinitos pedacinhos do comprimento da curva.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de . A função é:
Vamos derivar termo a termo:

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Observando a expressão , percebemos que ela pode ser escrita como , já que:
Então, a raiz fica mais simples:
Substituindo de volta na integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:

Resposta

Calculando os limites de integração:
Então, o comprimento de arco é unidades.

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