Calcule o comprimento de arco do gráfico de cada função no intervalo indicado:

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício pedindo para calcular o comprimento de arco do gráfico da função no intervalo de de 1 a 2. Vamos usar a matéria de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco, e precisamos saber como derivar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função entre e :
Essa fórmula basicamente soma infinitos pedacinhos do comprimento da curva.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de . A função é:
Vamos derivar termo a termo:

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Observando a expressão , percebemos que ela pode ser escrita como , já que:
Então, a raiz fica mais simples:
Substituindo de volta na integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:

Resposta

Calculando os limites de integração:
Então, o comprimento de arco é unidades.

Exercícios relacionados

O método do Problema 20 pode ser estendido para equações de segunda ordem com coeficientes variáveis. Se é uma solução conhecida de , que não se anula, mostre que uma segunda solução satisfaz , em que é o wronskiano de e . Depois use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para determinar .
Determine a derivada das funções vetoriais:
(a) Se e , mas , mostre que o resultado do Problema 37 não continua válido, mas que todas as soluções permanecem limitadas quando .
(b) Se e , mas , mostre que o resultado do Problema 37 não continua válido, mas que todas as soluções tendem a uma constante, que depende da condição inicial, quando . Determine essa constante para as condiçõs iniciais .
Determine o comprimento de arco de cada curva em coordenadas polares, entre os valores de indicados: