Se a > 0 e f: [-a, a] -> R é uma função qualquer, mostre que (a) A função g: [-a, a] -> R dada por g(x) = f(x) + f(-x) é uma função par.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a função é uma função par, onde está definida no intervalo e . Aqui, estamos lidando com funções pares e propriedades de simetria. Para resolver, vamos lembrar o que define uma função par e aplicar isso na função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função par. Uma função é par se, para todo no domínio dela, . Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição na função . Precisamos mostrar que .

Passo 4

Vamos calcular :
Note que porque os sinais negativos se cancelam.

Passo 5

Comparando com :
Vimos que é igual a .

Resposta

Assim, ficou comprovado que é uma função par, já que para todo em .

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