Se e é um inteiro não negativo qualquer, prove que não pode ter duas raízes reais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um polinômio , onde e é qualquer inteiro não negativo. A questão pede para provar que esse polinômio não pode ter duas raízes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios, suas raízes e como eles se comportam graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o grau do polinômio. O termo de maior grau é , então o polinômio é de grau ímpar. Sabemos que polinômios de grau ímpar sempre têm pelo menos uma raiz real porque as suas extremidades vão para e .

Passo 3

Agora, para entender se podem existir duas raízes reais, vamos analisar se o polinômio pode cruzar o eixo x mais de uma vez. Para isso, vamos estudar a derivada de , que nos diz como a função está crescendo ou diminuindo.
A derivada de é:

Passo 4

Vamos analisar :
  • é sempre positivo porque é um inteiro não negativo.
  • é sempre positivo ou zero porque qualquer número real elevado a uma potência par é não negativo.
  • por hipótese.
Então, é sempre maior que zero:

Passo 5

Como a derivada é sempre positiva, isso significa que está sempre crescendo. Uma função que está sempre aumentando não pode ter pontos onde ela para de aumentar ou começa a diminuir, ou seja, ela não pode ter máximos ou mínimos locais.

Passo 6

Se está sempre crescendo, ela pode cruzar o eixo x no máximo uma vez. Isso porque, uma vez que ela cruza o eixo, continua aumentando e nunca vai voltar atrás para cruzar novamente.

Resposta

Portanto, o polinômio com não pode ter duas raízes reais.

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