Se
e
é um inteiro não negativo qualquer, prove que
não pode ter duas raízes reais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um polinômio
, onde
e
é qualquer inteiro não negativo. A questão pede para provar que esse polinômio não pode ter duas raízes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios, suas raízes e como eles se comportam graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o grau do polinômio. O termo de maior grau é
, então o polinômio é de grau ímpar. Sabemos que polinômios de grau ímpar sempre têm pelo menos uma raiz real porque as suas extremidades vão para
e
.
Passo 3
Agora, para entender se podem existir duas raízes reais, vamos analisar se o polinômio pode cruzar o eixo x mais de uma vez. Para isso, vamos estudar a derivada de
, que nos diz como a função está crescendo ou diminuindo.
A derivada de
é:
Passo 4
Vamos analisar
:
-
é sempre positivo porque é um inteiro não negativo. -
é sempre positivo ou zero porque qualquer número real elevado a uma potência par é não negativo. -
por hipótese.
Então,
é sempre maior que zero:
Passo 5
Como a derivada
é sempre positiva, isso significa que
está sempre crescendo. Uma função que está sempre aumentando não pode ter pontos onde ela para de aumentar ou começa a diminuir, ou seja, ela não pode ter máximos ou mínimos locais.
Passo 6
Se
está sempre crescendo, ela pode cruzar o eixo x no máximo uma vez. Isso porque, uma vez que ela cruza o eixo, continua aumentando e nunca vai voltar atrás para cruzar novamente.
Resposta
Portanto, o polinômio
com
não pode ter duas raízes reais.
Exercícios relacionados
A altura de uma bola,
segundos após o lançamento, é dada por
.
Encontre a velocidade média da bola durante os dois primeiros segundos;
Encontre a velocidade média da bola durante os dois primeiros segundos;
A altura de uma bola,
segundos após o lançamento, é dada por
.
Verifique que ;
Verifique que