Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
definida no intervalo
. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores máximos e mínimos dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a identificar onde a função atinge seus pontos mais altos e mais baixos dentro do intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. Expandindo
:
Agora, temos uma forma mais simples da função para trabalharmos.
Passo 3
Para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, precisamos calcular a derivada de
, que nos dá a inclinação da função em cada ponto. A derivada
é:
Passo 4
Em seguida, encontramos os pontos críticos, que são os valores de
onde a derivada é igual a zero ou não existe. Como
é um polinômio, ele existe para todo
. Então, vamos resolver:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Onde
,
e
:
Assim, temos duas soluções:
Passo 5
Agora, identificamos os pontos críticos dentro do nosso intervalo
. Temos:
Ambos estão dentro do intervalo, então vamos calcular o valor da função nesses pontos e também nos extremos do intervalo, que são
e
.
Passo 6
Vamos calcular
nos pontos críticos e nos extremos:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 7
Agora, com os valores calculados:
Podemos ver que o menor valor da função nesse intervalo é aproximadamente
em
, e os valores máximos são
nos pontos
e
.
Resposta
No intervalo
, a função
atinge seu valor mínimo de aproximadamente
em
e seus valores máximos de
nos pontos
e
.
Exercícios relacionados
Se
e
é um inteiro não negativo qualquer, prove que
não pode ter duas raízes reais.
A altura de uma bola,
segundos após o lançamento, é dada por
.
Encontre a velocidade média da bola durante os dois primeiros segundos;
Encontre a velocidade média da bola durante os dois primeiros segundos;