Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função definida no intervalo . Nosso objetivo aqui é encontrar os valores máximos e mínimos dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a identificar onde a função atinge seus pontos mais altos e mais baixos dentro do intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. Expandindo :
Agora, temos uma forma mais simples da função para trabalharmos.

Passo 3

Para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, precisamos calcular a derivada de , que nos dá a inclinação da função em cada ponto. A derivada é:

Passo 4

Em seguida, encontramos os pontos críticos, que são os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. Como é um polinômio, ele existe para todo . Então, vamos resolver:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Onde , e :
Assim, temos duas soluções:

Passo 5

Agora, identificamos os pontos críticos dentro do nosso intervalo . Temos:
Ambos estão dentro do intervalo, então vamos calcular o valor da função nesses pontos e também nos extremos do intervalo, que são e .

Passo 6

Vamos calcular nos pontos críticos e nos extremos:
  1. Em :
  1. Em :
  1. Em :

Passo 7

Agora, com os valores calculados:
Podemos ver que o menor valor da função nesse intervalo é aproximadamente em , e os valores máximos são nos pontos e .

Resposta

No intervalo , a função atinge seu valor mínimo de aproximadamente em e seus valores máximos de nos pontos e .

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