Determine se a sequência
onde
converge para zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a sequência
onde
. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência chega a zero conforme
cresce. Para isso, vamos usar conceitos de limites e fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. O fatorial de
, representado por
, é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até
. Por exemplo,
.
Passo 3
Agora, vamos comparar
com
. A expressão
significa que
é multiplicado por ele mesmo
vezes. Por exemplo,
.
Passo 4
Para analisar o limite de
quando
tende ao infinito, podemos usar a fórmula de Stirling, que aproxima o fatorial:
Isso nos ajuda a simplificar
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de Stirling na nossa expressão:
Isso simplifica para
.
Passo 6
Observamos que
decai exponencialmente para zero à medida que
cresce, e
cresce, mas muito mais devagar (a taxa de crescimento é de ordem
).
Passo 7
Como o termo que decai exponencialmente domina o termo que cresce, o produto
tende a zero quando
vai para o infinito.
Resposta
Portanto, a sequência
converge para zero.