Determine se a sequência {n_n} onde n_n = n! / n^n converge para zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a sequência onde . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência chega a zero conforme cresce. Para isso, vamos usar conceitos de limites e fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . O fatorial de , representado por , é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até . Por exemplo, .

Passo 3

Agora, vamos comparar com . A expressão significa que é multiplicado por ele mesmo vezes. Por exemplo, .

Passo 4

Para analisar o limite de quando tende ao infinito, podemos usar a fórmula de Stirling, que aproxima o fatorial:
Isso nos ajuda a simplificar .

Passo 5

Aplicando a fórmula de Stirling na nossa expressão:
Isso simplifica para .

Passo 6

Observamos que decai exponencialmente para zero à medida que cresce, e cresce, mas muito mais devagar (a taxa de crescimento é de ordem ).

Passo 7

Como o termo que decai exponencialmente domina o termo que cresce, o produto tende a zero quando vai para o infinito.

Resposta

Portanto, a sequência converge para zero.

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