Uma ameixa está localizada nas coordenadas ). Em termos dos vetores unitários, qual é o torque em relação à origem a que está submetida a ameixa, se esse se deve a uma Força cuja única componente é ?

Passo 1

Vamos lá! Temos um problema de física que envolve torque, que é basicamente uma medida de quanto uma força faz um objeto girar em torno de um ponto. Aqui, queremos encontrar o torque aplicado a uma ameixa localizada em determinadas coordenadas em relação à origem (o ponto (0,0,0)) quando uma força específica está agindo sobre ela. Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto vetorial entre o vetor posição da ameixa e o vetor força.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor posição da ameixa e o vetor força que está atuando sobre ela. As coordenadas da ameixa são , então podemos representar o vetor posição assim:
A força tem apenas a componente , então o vetor força fica:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções dos eixos , e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do torque, que é o produto vetorial entre o vetor posição e o vetor força :
O produto vetorial nos dá um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais, e sua magnitude nos indica o quanto a força está causando rotação em torno da origem.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial passo a passo. Montamos uma matriz com os vetores unitários e as componentes de e :
Para calcular o determinante dessa matriz, fazemos o seguinte:
  1. Componente :
  2. Componente :
  3. Componente :
Então, o vetor torque fica:

Resposta

O torque em relação à origem é .

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Em um certo instante, a força age sobre um objeto de , cujo vetor posição é e cujo vetor velocidade é . Em relação à origem e em termos dos vetores unitários, qual é o torque que age sobre o objeto?