Um amortecedor a gás na suspensão de um automóvel comporta-se como dispositivo pistão-cilindro. No instante em que o pistão está em afastado da extremidade fechada do cilindro, a massa específica do gás é uniforme em , e o pistão começa a se mover afastando-se da extremidade fechada do cilindro, com . A velocidade do gás é unidimensional e é proporcional à distância em relação à extremidade fechada, varia linearmente de zero, na extremidade, , conforme o pistão. Avalie a taxa de variação da massa específica do gás nesse instante. Obtenha uma expressão para a massa específica média como função do tempo (considere que L pode ser expresso como ). (Resp. taxa de variação de em é e 18/(1 + 800)).
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um amortecedor a gás na suspensão de um carro, que funciona como um pistão dentro de um cilindro. No instante inicial, o pistão está a uma distância da extremidade fechada do cilindro. A densidade do gás é uniforme e vale . Quando o pistão começa a se mover para longe da extremidade fechada com uma velocidade , a velocidade do gás também varia linearmente em relação à distância a partir da extremidade fechada. Precisamos encontrar:
A taxa de variação da densidade do gás nesse instante.
Uma expressão para a densidade média do gás em função do tempo, considerando que .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de fluxo de massa e como a densidade se comporta em movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a velocidade do gás varia dentro do cilindro. A velocidade é proporcional à distância da extremidade fechada, o que significa que:
Onde é a posição dentro do cilindro, variando de (na extremidade fechada) até (posição do pistão).
Passo 3
Vamos calcular o fluxo de massa no cilindro. O fluxo de massa é dado por:
Mas como a velocidade varia com , precisamos considerar a média desse fluxo ao longo do comprimento .
Substituindo :
Passo 4
Agora, para encontrar a taxa de variação da densidade , precisamos relacionar a variação da massa no cilindro com o fluxo de massa. A massa total no cilindro é:
Onde é a área da seção transversal do cilindro. Derivando em relação ao tempo:
Sabemos que e que . Substituindo:
Dividindo tudo por :
Substituindo :
Isolando :
Então:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa taxa de variação no instante inicial (). Sabemos que , , e .
Substituindo na expressão:
Parece que há uma diferença em relação ao valor de resposta esperado, que é 1440 kg/(m^3 cdot s). Isso indica que talvez o fluxo de massa tenha que ser considerado de forma diferente, possivelmente levando em conta a contribuição completa das duas direções ou algum outro fator no enunciado. Porém, seguindo os passos padrão, chegamos a -720 kg/(m^3 cdot s). É possível que haja um erro de sinal ou um fator adicional a ser considerado.
Passo 6
Para encontrar a expressão da densidade média como função do tempo, vamos integrar a taxa de variação da densidade:
drhodt = -rho v2 L
Sabendo que L = L0 + vt, substituímos:
drhodt = -rho v2 (L0 + vt)
Isso é uma equação diferencial que pode ser resolvida separando as variáveis:
drhorho = -v2 (L0 + vt) dt
Integrando ambos os lados:
ln rho = -12 ln (L0 + vt) + C
Exponentiando ambos os lados:
rho = C (L0 + vt)^-1/2
Para encontrar a constante C, usamos a condição inicial rho(0) = 18 kg/m^3:
18 = C (L0)^-1/2 Rightarrow C = 18 L0^1/2
Então, a expressão geral para a densidade média é: