Um amortecedor a gás na suspensão de um automóvel comporta-se como dispositivo pistão-cilindro. No instante em que o pistão está em L=0,15 m afastado da extremidade fechada do cilindro, a massa específica do gás é uniforme em rho=18 kg / m^3, e o pistão começa a se mover afastando-se da extremidade fechada do cilindro, com v=12 m / s. A velocidade do gás é unidimensional e é proporcional à distância em relação à extremidade fechada, varia linearmente de zero, na extremidade, a u=v, conforme o pistão. Avalie a taxa de variação da massa específica do gás nesse instante. Obtenha uma expressão para a massa específica média como função do tempo (considere que L pode ser expresso como L=L0+vt ). (Resp. taxa de variação de rho em t=0 é 1440 kg /(m^3 s) e rho= 18/(1 + 800)).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um amortecedor a gás na suspensão de um carro, que funciona como um pistão dentro de um cilindro. No instante inicial, o pistão está a uma distância L=0,15 m da extremidade fechada do cilindro. A densidade do gás é uniforme e vale rho=18 kg/m^3. Quando o pistão começa a se mover para longe da extremidade fechada com uma velocidade v=12 m/s, a velocidade do gás também varia linearmente em relação à distância a partir da extremidade fechada. Precisamos encontrar:
  1. A taxa de variação da densidade do gás nesse instante.
  2. Uma expressão para a densidade média do gás em função do tempo, considerando que L=L0+vt.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de fluxo de massa e como a densidade se comporta em movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a velocidade do gás varia dentro do cilindro. A velocidade é proporcional à distância da extremidade fechada, o que significa que:
u(x) = (vL) x
Onde x é a posição dentro do cilindro, variando de 0 (na extremidade fechada) até L (posição do pistão).

Passo 3

Vamos calcular o fluxo de massa no cilindro. O fluxo de massa é dado por:
dotm = rho cdot u(x)
Mas como a velocidade varia com x, precisamos considerar a média desse fluxo ao longo do comprimento L.
dotmmédia = rho cdot 1L integral0^L u(x) , dx é
Substituindo u(x):
dotmmédia = rho cdot 1L integral0^L (vL) x , dx = rho cdot vL^2 cdot L^22 = rho v2 é

Passo 4

Agora, para encontrar a taxa de variação da densidade drhodt, precisamos relacionar a variação da massa no cilindro com o fluxo de massa. A massa total no cilindro é:
m = rho cdot V = rho cdot A cdot L
Onde A é a área da seção transversal do cilindro. Derivando em relação ao tempo:
dmdt = A cdot L cdot drhodt + rho cdot A cdot dLdt
Sabemos que dLdt = v e que dmdt = dotmmédiaé. Substituindo:
dotmmédia = A cdot L cdot drhodt + rho cdot A cdot v é
Dividindo tudo por A:
dotmmédiaA = L cdot drhodt + rho cdot v é
Substituindo dotmmédia = rho v2é:
rho v2 = L cdot drhodt + rho cdot v
Isolando drhodt:
L cdot drhodt = rho v2 - rho v = -rho v2
Então:
drhodt = -rho v2 L

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa taxa de variação no instante inicial ( t=0). Sabemos que L0 = 0,15 m, rho = 18 kg/m^3, e v = 12 m/s.
Substituindo na expressão:
drhodtg|t=0 = -18 cdot 122 cdot 0,15 = -2160,3 = -720 kg/(m^3 cdot s)
Parece que há uma diferença em relação ao valor de resposta esperado, que é 1440 kg/(m^3 cdot s). Isso indica que talvez o fluxo de massa tenha que ser considerado de forma diferente, possivelmente levando em conta a contribuição completa das duas direções ou algum outro fator no enunciado. Porém, seguindo os passos padrão, chegamos a -720 kg/(m^3 cdot s). É possível que haja um erro de sinal ou um fator adicional a ser considerado.

Passo 6

Para encontrar a expressão da densidade média como função do tempo, vamos integrar a taxa de variação da densidade:
drhodt = -rho v2 L
Sabendo que L = L0 + vt, substituímos:
drhodt = -rho v2 (L0 + vt)
Isso é uma equação diferencial que pode ser resolvida separando as variáveis:
drhorho = -v2 (L0 + vt) dt
Integrando ambos os lados:
ln rho = -12 ln (L0 + vt) + C
Exponentiando ambos os lados:
rho = C (L0 + vt)^-1/2
Para encontrar a constante C, usamos a condição inicial rho(0) = 18 kg/m^3:
18 = C (L0)^-1/2 Rightarrow C = 18 L0^1/2
Então, a expressão geral para a densidade média é:
rho(t) = 18 L0^1/2 (L0 + vt)^-1/2 = 18 L0^1/2(L0 + vt)^1/2 = 18raiz1 + vtL0

Resposta

A taxa de variação da densidade do gás no instante inicial ( t=0) é -720 kg/(m^3 cdot s) e a densidade média do gás em função do tempo é dada por:
rho(t) = 18raiz1 + 800t1 kg/m^3

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