Para um escoamento incompressível no plano
, a componente
da velocidade é dada por
Asen
. Determine uma possível componente
da velocidade. Quantas possíveis componentes
existem? Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um escoamento incompressível no plano polar, usando coordenadas $ r $ e $ \theta $. A gente sabe que a componente da velocidade na direção $ \theta $ é $ \mathrm{v}{\theta} = -\frac{\mathrm{A} \sin \theta}{r^{2}} $. A tarefa é descobrir uma possível componente $ r $ da velocidade $ \mathrm{v}{r} $ e ver quantas opções diferentes a gente pode ter para $ \mathrm{v}_{r} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da continuidade para escoamentos incompressíveis em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação da continuidade para um escoamento incompressível em coordenadas polares. Ela é dada por:
Essa equação garante que a massa do fluido é conservada durante o escoamento.
Passo 3
Agora, vamos substituir a expressão de $ \mathrm{v}{\theta} $ que a gente tem na equação da continuidade. Ou seja, substituímos $ \mathrm{v}{\theta} = -\frac{\mathrm{A} \sin \theta}{r^{2}} $ na equação:
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial em relação a $ \theta $:
Substituindo de volta na equação da continuidade:
Passo 5
Vamos multiplicar toda a equação por $ r $ para simplificar:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ r $:
Aqui, $ C(\theta) $ é a constante de integração que pode depender de $ \theta $.
Passo 7
Dividindo tudo por $ r $ para isolarmos $ \mathrm{v}_r $:
Passo 8
Para descobrir quantas soluções possíveis existem, observamos que $ C(\theta) $ pode ser qualquer função de $ \theta $. Porém, para que o escoamento seja finito quando $ r $ tende ao infinito, devemos ter $ C(\theta) = 0 $. Assim, a única solução viável é: