Para um escoamento incompressível no plano r theta, a componente theta da velocidade é dada por vtheta=- Asen theta / r^2. Determine uma possível componente r da velocidade. Quantas possíveis componentes r existem? Resp.: vr=-A(cos theta) / r^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um escoamento incompressível no plano polar, usando coordenadas $ r $ e $ \theta $. A gente sabe que a componente da velocidade na direção $ \theta $ é $ \mathrm{v}{\theta} = -\frac{\mathrm{A} \sin \theta}{r^{2}} $. A tarefa é descobrir uma possível componente $ r $ da velocidade $ \mathrm{v}{r} $ e ver quantas opções diferentes a gente pode ter para $ \mathrm{v}_{r} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da continuidade para escoamentos incompressíveis em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação da continuidade para um escoamento incompressível em coordenadas polares. Ela é dada por:
1rpartialpartial r(r vr) + 1r partial vthetapartial theta = 0
Essa equação garante que a massa do fluido é conservada durante o escoamento.

Passo 3

Agora, vamos substituir a expressão de $ \mathrm{v}{\theta} $ que a gente tem na equação da continuidade. Ou seja, substituímos $ \mathrm{v}{\theta} = -\frac{\mathrm{A} \sin \theta}{r^{2}} $ na equação:
vtheta

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial em relação a $ \theta $:
theta
Substituindo de volta na equação da continuidade:
partialpartial theta ( -A sin thetar^2 ) = -A cos thetar^2

Passo 5

Vamos multiplicar toda a equação por $ r $ para simplificar:
r

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ r $:
r
Aqui, $ C(\theta) $ é a constante de integração que pode depender de $ \theta $.

Passo 7

Dividindo tudo por $ r $ para isolarmos $ \mathrm{v}_r $:
r

Passo 8

Para descobrir quantas soluções possíveis existem, observamos que $ C(\theta) $ pode ser qualquer função de $ \theta $. Porém, para que o escoamento seja finito quando $ r $ tende ao infinito, devemos ter $ C(\theta) = 0 $. Assim, a única solução viável é:

Resposta

vr = -A cos thetar^2

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